Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41485 / 10736
↖ ↑ ↗
← N 76.205967°
E 47.883911°		 ← 145.63 m → N 76.205967°
E 47.889404°		 →
↑
145.64 m
↓
↑
145.64 m
↓
N 76.204657°
E 47.883911°		 ← 145.65 m →
21 211 m²		 N 76.204657°
E 47.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633018493652344 y=0.163825988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633018493652344 × 216)
    floor (0.633018493652344 × 65536)
    floor (41485.5)     		tx = 41485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163825988769531 × 216)
    floor (0.163825988769531 × 65536)
    floor (10736.5)     		ty = 10736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41485 / 10736 ti = "16/41485/10736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41485/10736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41485 ÷ 216
    41485 ÷ 65536     		x = 0.633010864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10736 ÷ 216
    10736 ÷ 65536     		y = 0.163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633010864257812 × 2 - 1) × π
    0.266021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83573191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163818359375 × 2 - 1) × π
    0.67236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11229154485815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83573191} λ = 0.83573191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11229154485815))-π/2
    2×atan(8.26716417257393)-π/2
    2×1.4504206806748-π/2
    2.90084136134961-1.57079632675     		φ = 1.33004503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83573191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.883911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33004503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.205967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41485 KachelY 10736 0.83573191 1.33004503 47.883911 76.205967
    Oben rechts KachelX + 1 41486 KachelY 10736 0.83582778 1.33004503 47.889404 76.205967
    Unten links KachelX 41485 KachelY + 1 10737 0.83573191 1.33002217 47.883911 76.204657
    Unten rechts KachelX + 1 41486 KachelY + 1 10737 0.83582778 1.33002217 47.889404 76.204657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33004503-1.33002217) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dl = 145.641060000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33004503-1.33002217) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dr = 145.641060000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83573191-0.83582778) × cos(1.33004503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238432322380501 × 6371000     		do = 145.631546482704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83573191-0.83582778) × cos(1.33002217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23845452301558 × 6371000     		du = 145.645106359097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33004503)-sin(1.33002217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238432322380501-0.23845452301558)×R²
    abs(0.83582778-0.83573191)×2.22006350788229e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22006350788229e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22006350788229e-05×40589641000000     		ar = 21210.9202376661m²