Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41483 / 10781
↖ ↑ ↗
← N 76.146905°
E 47.872925°		 ← 146.24 m → N 76.146905°
E 47.878418°		 →
↑
146.21 m
↓
↑
146.21 m
↓
N 76.145590°
E 47.872925°		 ← 146.26 m →
21 384 m²		 N 76.145590°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632987976074219 y=0.164512634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632987976074219 × 216)
    floor (0.632987976074219 × 65536)
    floor (41483.5)     		tx = 41483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164512634277344 × 216)
    floor (0.164512634277344 × 65536)
    floor (10781.5)     		ty = 10781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41483 / 10781 ti = "16/41483/10781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41483/10781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41483 ÷ 216
    41483 ÷ 65536     		x = 0.632980346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10781 ÷ 216
    10781 ÷ 65536     		y = 0.164505004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632980346679688 × 2 - 1) × π
    0.265960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83554016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164505004882812 × 2 - 1) × π
    0.670989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10797722389235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83554016} λ = 0.83554016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10797722389235))-π/2
    2×atan(8.23157380220168)-π/2
    2×1.44990526497758-π/2
    2.89981052995517-1.57079632675     		φ = 1.32901420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83554016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.872925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32901420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.146905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41483 KachelY 10781 0.83554016 1.32901420 47.872925 76.146905
    Oben rechts KachelX + 1 41484 KachelY 10781 0.83563603 1.32901420 47.878418 76.146905
    Unten links KachelX 41483 KachelY + 1 10782 0.83554016 1.32899125 47.872925 76.145590
    Unten rechts KachelX + 1 41484 KachelY + 1 10782 0.83563603 1.32899125 47.878418 76.145590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32901420-1.32899125) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dl = 146.214449999784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32901420-1.32899125) × R
    2.29499999999661e-05 × 6371000     		dr = 146.214449999784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83554016-0.83563603) × cos(1.32901420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239433295473917 × 6371000     		do = 146.242928606262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83554016-0.83563603) × cos(1.32899125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239455577859996 × 6371000     		du = 146.256538415165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32901420)-sin(1.32899125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239433295473917-0.239455577859996)×R²
    abs(0.83563603-0.83554016)×2.22823860789589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22823860789589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22823860789589e-05×40589641000000     		ar = 21383.824348827m²