Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41483 / 10776
↖ ↑ ↗
← N 76.153479°
E 47.872925°		 ← 146.17 m → N 76.153479°
E 47.878418°		 →
↑
146.15 m
↓
↑
146.15 m
↓
N 76.152165°
E 47.872925°		 ← 146.19 m →
21 365 m²		 N 76.152165°
E 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632987976074219 y=0.164436340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632987976074219 × 216)
    floor (0.632987976074219 × 65536)
    floor (41483.5)     		tx = 41483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164436340332031 × 216)
    floor (0.164436340332031 × 65536)
    floor (10776.5)     		ty = 10776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41483 / 10776 ti = "16/41483/10776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41483/10776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41483 ÷ 216
    41483 ÷ 65536     		x = 0.632980346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10776 ÷ 216
    10776 ÷ 65536     		y = 0.1644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632980346679688 × 2 - 1) × π
    0.265960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83554016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1644287109375 × 2 - 1) × π
    0.671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10845659288855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83554016} λ = 0.83554016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10845659288855))-π/2
    2×atan(8.23552070940928)-π/2
    2×1.44996264007303-π/2
    2.89992528014605-1.57079632675     		φ = 1.32912895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83554016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.872925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32912895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.153479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41483 KachelY 10776 0.83554016 1.32912895 47.872925 76.153479
    Oben rechts KachelX + 1 41484 KachelY 10776 0.83563603 1.32912895 47.878418 76.153479
    Unten links KachelX 41483 KachelY + 1 10777 0.83554016 1.32910601 47.872925 76.152165
    Unten rechts KachelX + 1 41484 KachelY + 1 10777 0.83563603 1.32910601 47.878418 76.152165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32912895-1.32910601) × R
    2.29400000000268e-05 × 6371000     		dl = 146.150740000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32912895-1.32910601) × R
    2.29400000000268e-05 × 6371000     		dr = 146.150740000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83554016-0.83563603) × cos(1.32912895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239321881652105 × 6371000     		do = 146.17487840649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83554016-0.83563603) × cos(1.32910601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239344154959269 × 6371000     		du = 146.188482670103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32912895)-sin(1.32910601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239321881652105-0.239344154959269)×R²
    abs(0.83563603-0.83554016)×2.22733071642833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22733071642833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22733071642833e-05×40589641000000     		ar = 21364.5607861246m²