Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41481 / 10730
↖ ↑ ↗
← N 76.213823°
E 47.861938°		 ← 145.57 m → N 76.213823°
E 47.867432°		 →
↑
145.51 m
↓
↑
145.51 m
↓
N 76.212515°
E 47.861938°		 ← 145.58 m →
21 183 m²		 N 76.212515°
E 47.867432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632957458496094 y=0.163734436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632957458496094 × 216)
    floor (0.632957458496094 × 65536)
    floor (41481.5)     		tx = 41481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163734436035156 × 216)
    floor (0.163734436035156 × 65536)
    floor (10730.5)     		ty = 10730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41481 / 10730 ti = "16/41481/10730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41481/10730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41481 ÷ 216
    41481 ÷ 65536     		x = 0.632949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10730 ÷ 216
    10730 ÷ 65536     		y = 0.163726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632949829101562 × 2 - 1) × π
    0.265899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83534841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163726806640625 × 2 - 1) × π
    0.67254638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1128667876536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83534841} λ = 0.83534841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1128667876536))-π/2
    2×atan(8.27192116728522)-π/2
    2×1.45048923975901-π/2
    2.90097847951803-1.57079632675     		φ = 1.33018215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83534841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.861938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33018215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.213823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41481 KachelY 10730 0.83534841 1.33018215 47.861938 76.213823
    Oben rechts KachelX + 1 41482 KachelY 10730 0.83544429 1.33018215 47.867432 76.213823
    Unten links KachelX 41481 KachelY + 1 10731 0.83534841 1.33015931 47.861938 76.212515
    Unten rechts KachelX + 1 41482 KachelY + 1 10731 0.83544429 1.33015931 47.867432 76.212515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33018215-1.33015931) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dl = 145.513639999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33018215-1.33015931) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dr = 145.513639999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83534841-0.83544429) × cos(1.33018215) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23829915480151 × 6371000     		do = 145.565391393156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83534841-0.83544429) × cos(1.33015931) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238321336760069 × 6371000     		du = 145.578941275371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33018215)-sin(1.33015931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23829915480151-0.238321336760069)×R²
    abs(0.83544429-0.83534841)×2.21819585589089e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.21819585589089e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.21819585589089e-05×40589641000000     		ar = 21182.7358070436m²