Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41473 / 47617
↖ ↑ ↗
← S 62.917734°
E 47.817993°		 ← 278.10 m → S 62.917734°
E 47.823487°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
S 62.920235°
E 47.817993°		 ← 278.08 m →
77 318 m²		 S 62.920235°
E 47.823487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632835388183594 y=0.726585388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632835388183594 × 216)
    floor (0.632835388183594 × 65536)
    floor (41473.5)     		tx = 41473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726585388183594 × 216)
    floor (0.726585388183594 × 65536)
    floor (47617.5)     		ty = 47617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41473 / 47617 ti = "16/41473/47617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41473/47617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41473 ÷ 216
    41473 ÷ 65536     		x = 0.632827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47617 ÷ 216
    47617 ÷ 65536     		y = 0.726577758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632827758789062 × 2 - 1) × π
    0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726577758789062 × 2 - 1) × π
    -0.453155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42363004491643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83458142} λ = 0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42363004491643))-π/2
    2×atan(0.240838174793622)-π/2
    2×0.236337355174922-π/2
    0.472674710349845-1.57079632675     		φ = -1.09812162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09812162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.917734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41473 KachelY 47617 0.83458142 -1.09812162 47.817993 -62.917734
    Oben rechts KachelX + 1 41474 KachelY 47617 0.83467730 -1.09812162 47.823487 -62.917734
    Unten links KachelX 41473 KachelY + 1 47618 0.83458142 -1.09816526 47.817993 -62.920235
    Unten rechts KachelX + 1 41474 KachelY + 1 47618 0.83467730 -1.09816526 47.823487 -62.920235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09812162--1.09816526) × R
    4.36400000001225e-05 × 6371000     		dl = 278.03044000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09812162--1.09816526) × R
    4.36400000001225e-05 × 6371000     		dr = 278.03044000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83458142-0.83467730) × cos(-1.09812162) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.455269346308202 × 6371000     		do = 278.101953990816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83458142-0.83467730) × cos(-1.09816526) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.455230490836502 × 6371000     		du = 278.078219068422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09812162)-sin(-1.09816526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455269346308202-0.455230490836502)×R²
    abs(0.83467730-0.83458142)×3.88554716999612e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88554716999612e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88554716999612e-05×40589641000000     		ar = 77317.5091301051m²