Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41473 / 47615
↖ ↑ ↗
← S 62.912732°
E 47.817993°		 ← 278.15 m → S 62.912732°
E 47.823487°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
S 62.915233°
E 47.817993°		 ← 278.13 m →
77 366 m²		 S 62.915233°
E 47.823487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632835388183594 y=0.726554870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632835388183594 × 216)
    floor (0.632835388183594 × 65536)
    floor (41473.5)     		tx = 41473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726554870605469 × 216)
    floor (0.726554870605469 × 65536)
    floor (47615.5)     		ty = 47615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41473 / 47615 ti = "16/41473/47615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41473/47615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41473 ÷ 216
    41473 ÷ 65536     		x = 0.632827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47615 ÷ 216
    47615 ÷ 65536     		y = 0.726547241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632827758789062 × 2 - 1) × π
    0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726547241210938 × 2 - 1) × π
    -0.453094482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42343829731795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83458142} λ = 0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42343829731795))-π/2
    2×atan(0.240884359363009)-π/2
    2×0.236381007303188-π/2
    0.472762014606376-1.57079632675     		φ = -1.09803431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09803431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.912732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41473 KachelY 47615 0.83458142 -1.09803431 47.817993 -62.912732
    Oben rechts KachelX + 1 41474 KachelY 47615 0.83467730 -1.09803431 47.823487 -62.912732
    Unten links KachelX 41473 KachelY + 1 47616 0.83458142 -1.09807797 47.817993 -62.915233
    Unten rechts KachelX + 1 41474 KachelY + 1 47616 0.83467730 -1.09807797 47.823487 -62.915233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09803431--1.09807797) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09803431--1.09807797) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83458142-0.83467730) × cos(-1.09803431) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.455347081359836 × 6371000     		do = 278.149438562154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83458142-0.83467730) × cos(-1.09807797) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.455308209816203 × 6371000     		du = 278.125693822196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09803431)-sin(-1.09807797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455347081359836-0.455308209816203)×R²
    abs(0.83467730-0.83458142)×3.88715436323572e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88715436323572e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88715436323572e-05×40589641000000     		ar = 77366.1502097443m²