Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41473 / 10758
↖ ↑ ↗
← N 76.177123°
E 47.817993°		 ← 145.95 m → N 76.177123°
E 47.823487°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
N 76.175810°
E 47.817993°		 ← 145.96 m →
21 303 m²		 N 76.175810°
E 47.823487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632835388183594 y=0.164161682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632835388183594 × 216)
    floor (0.632835388183594 × 65536)
    floor (41473.5)     		tx = 41473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164161682128906 × 216)
    floor (0.164161682128906 × 65536)
    floor (10758.5)     		ty = 10758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41473 / 10758 ti = "16/41473/10758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41473/10758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41473 ÷ 216
    41473 ÷ 65536     		x = 0.632827758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10758 ÷ 216
    10758 ÷ 65536     		y = 0.164154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632827758789062 × 2 - 1) × π
    0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164154052734375 × 2 - 1) × π
    0.67169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11018232127487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83458142} λ = 0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11018232127487))-π/2
    2×atan(8.24974525159155)-π/2
    2×1.4501689694378-π/2
    2.9003379388756-1.57079632675     		φ = 1.32954161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32954161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.177123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41473 KachelY 10758 0.83458142 1.32954161 47.817993 76.177123
    Oben rechts KachelX + 1 41474 KachelY 10758 0.83467730 1.32954161 47.823487 76.177123
    Unten links KachelX 41473 KachelY + 1 10759 0.83458142 1.32951870 47.817993 76.175810
    Unten rechts KachelX + 1 41474 KachelY + 1 10759 0.83467730 1.32951870 47.823487 76.175810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32954161-1.32951870) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32954161-1.32951870) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83458142-0.83467730) × cos(1.32954161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238921193068629 × 6371000     		do = 145.945364389242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83458142-0.83467730) × cos(1.32951870) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238943439508519 × 6371000     		du = 145.958953659974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32954161)-sin(1.32951870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238921193068629-0.238943439508519)×R²
    abs(0.83467730-0.83458142)×2.22464398902389e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22464398902389e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22464398902389e-05×40589641000000     		ar = 21303.1202109808m²