Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41470 / 47613
↖ ↑ ↗
← S 62.907729°
E 47.801514°		 ← 278.17 m → S 62.907729°
E 47.807007°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
S 62.910230°
E 47.801514°		 ← 278.14 m →
77 371 m²		 S 62.910230°
E 47.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632789611816406 y=0.726524353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632789611816406 × 216)
    floor (0.632789611816406 × 65536)
    floor (41470.5)     		tx = 41470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726524353027344 × 216)
    floor (0.726524353027344 × 65536)
    floor (47613.5)     		ty = 47613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41470 / 47613 ti = "16/41470/47613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41470/47613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41470 ÷ 216
    41470 ÷ 65536     		x = 0.632781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47613 ÷ 216
    47613 ÷ 65536     		y = 0.726516723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632781982421875 × 2 - 1) × π
    0.26556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83429380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726516723632812 × 2 - 1) × π
    -0.453033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42324654971947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83429380} λ = 0.83429380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42324654971947))-π/2
    2×atan(0.240930552789026)-π/2
    2×0.236424666884188-π/2
    0.472849333768375-1.57079632675     		φ = -1.09794699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83429380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09794699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.907729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41470 KachelY 47613 0.83429380 -1.09794699 47.801514 -62.907729
    Oben rechts KachelX + 1 41471 KachelY 47613 0.83438967 -1.09794699 47.807007 -62.907729
    Unten links KachelX 41470 KachelY + 1 47614 0.83429380 -1.09799065 47.801514 -62.910230
    Unten rechts KachelX + 1 41471 KachelY + 1 47614 0.83438967 -1.09799065 47.807007 -62.910230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09794699--1.09799065) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09794699--1.09799065) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83429380-0.83438967) × cos(-1.09794699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455424821843085 × 6371000     		do = 278.167911336179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83429380-0.83438967) × cos(-1.09799065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455385952035487 × 6371000     		du = 278.144170133076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09794699)-sin(-1.09799065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455424821843085-0.455385952035487)×R²
    abs(0.83438967-0.83429380)×3.88698075970972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88698075970972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88698075970972e-05×40589641000000     		ar = 77371.2890492877m²