Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41470 / 10753
↖ ↑ ↗
← N 76.183684°
E 47.801514°		 ← 145.86 m → N 76.183684°
E 47.807007°		 →
↑
145.90 m
↓
↑
145.90 m
↓
N 76.182372°
E 47.801514°		 ← 145.88 m →
21 282 m²		 N 76.182372°
E 47.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632789611816406 y=0.164085388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632789611816406 × 216)
    floor (0.632789611816406 × 65536)
    floor (41470.5)     		tx = 41470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164085388183594 × 216)
    floor (0.164085388183594 × 65536)
    floor (10753.5)     		ty = 10753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41470 / 10753 ti = "16/41470/10753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41470/10753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41470 ÷ 216
    41470 ÷ 65536     		x = 0.632781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10753 ÷ 216
    10753 ÷ 65536     		y = 0.164077758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632781982421875 × 2 - 1) × π
    0.26556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83429380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164077758789062 × 2 - 1) × π
    0.671844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11066169027107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83429380} λ = 0.83429380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11066169027107))-π/2
    2×atan(8.25370087171679)-π/2
    2×1.45022622181731-π/2
    2.90045244363463-1.57079632675     		φ = 1.32965612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83429380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32965612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.183684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41470 KachelY 10753 0.83429380 1.32965612 47.801514 76.183684
    Oben rechts KachelX + 1 41471 KachelY 10753 0.83438967 1.32965612 47.807007 76.183684
    Unten links KachelX 41470 KachelY + 1 10754 0.83429380 1.32963322 47.801514 76.182372
    Unten rechts KachelX + 1 41471 KachelY + 1 10754 0.83438967 1.32963322 47.807007 76.182372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32965612-1.32963322) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dl = 145.895900000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32965612-1.32963322) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dr = 145.895900000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83429380-0.83438967) × cos(1.32965612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238809997831032 × 6371000     		do = 145.862226028918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83429380-0.83438967) × cos(1.32963322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238832235186989 × 6371000     		du = 145.875808333973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32965612)-sin(1.32963322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238809997831032-0.238832235186989)×R²
    abs(0.83438967-0.83429380)×2.22373559568001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22373559568001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22373559568001e-05×40589641000000     		ar = 21281.6915449374m²