Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4147 / 4205
↖ ↑ ↗
← N 78.944031°
W134.439697°		 ← 234.26 m → N 78.944031°
W134.428711°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
N 78.941924°
W134.439697°		 ← 234.30 m →
54 883 m²		 N 78.941924°
W134.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126571655273438 y=0.128341674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126571655273438 × 215)
    floor (0.126571655273438 × 32768)
    floor (4147.5)     		tx = 4147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128341674804688 × 215)
    floor (0.128341674804688 × 32768)
    floor (4205.5)     		ty = 4205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4147 / 4205 ti = "15/4147/4205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4147/4205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4147 ÷ 215
    4147 ÷ 32768     		x = 0.126556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4205 ÷ 215
    4205 ÷ 32768     		y = 0.128326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.74688720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34641536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128326416015625 × 2 - 1) × π
    0.74334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33529400189066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34641536} λ = -2.34641536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33529400189066))-π/2
    2×atan(10.3324972565863)-π/2
    2×1.47431479357731-π/2
    2.94862958715462-1.57079632675     		φ = 1.37783326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34641536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.439697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37783326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.944031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4147 KachelY 4205 -2.34641536 1.37783326 -134.439697 78.944031
    Oben rechts KachelX + 1 4148 KachelY 4205 -2.34622362 1.37783326 -134.428711 78.944031
    Unten links KachelX 4147 KachelY + 1 4206 -2.34641536 1.37779649 -134.439697 78.941924
    Unten rechts KachelX + 1 4148 KachelY + 1 4206 -2.34622362 1.37779649 -134.428711 78.941924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37783326-1.37779649) × R
    3.67700000001303e-05 × 6371000     		dl = 234.26167000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37783326-1.37779649) × R
    3.67700000001303e-05 × 6371000     		dr = 234.26167000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34641536--2.34622362) × cos(1.37783326) × R
    0.000191739999999996 × 0.191767805792479 × 6371000     		do = 234.258860915558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34641536--2.34622362) × cos(1.37779649) × R
    0.000191739999999996 × 0.191803893223529 × 6371000     		du = 234.30294443863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37783326)-sin(1.37779649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191767805792479-0.191803893223529)×R²
    abs(-2.34622362--2.34641536)×3.60874310501857e-05×R²
    0.000191739999999996×3.60874310501857e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.60874310501857e-05×40589641000000     		ar = 54883.0355170824m²