Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41469 / 10757
↖ ↑ ↗
← N 76.178436°
E 47.796021°		 ← 145.92 m → N 76.178436°
E 47.801514°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
N 76.177123°
E 47.796021°		 ← 145.93 m →
21 299 m²		 N 76.177123°
E 47.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632774353027344 y=0.164146423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632774353027344 × 216)
    floor (0.632774353027344 × 65536)
    floor (41469.5)     		tx = 41469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164146423339844 × 216)
    floor (0.164146423339844 × 65536)
    floor (10757.5)     		ty = 10757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41469 / 10757 ti = "16/41469/10757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41469/10757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41469 ÷ 216
    41469 ÷ 65536     		x = 0.632766723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10757 ÷ 216
    10757 ÷ 65536     		y = 0.164138793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632766723632812 × 2 - 1) × π
    0.265533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83419793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164138793945312 × 2 - 1) × π
    0.671722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11027819507411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83419793} λ = 0.83419793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11027819507411))-π/2
    2×atan(8.25053622392774)-π/2
    2×1.45018042204584-π/2
    2.90036084409168-1.57079632675     		φ = 1.32956452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83419793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.796021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32956452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.178436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41469 KachelY 10757 0.83419793 1.32956452 47.796021 76.178436
    Oben rechts KachelX + 1 41470 KachelY 10757 0.83429380 1.32956452 47.801514 76.178436
    Unten links KachelX 41469 KachelY + 1 10758 0.83419793 1.32954161 47.796021 76.177123
    Unten rechts KachelX + 1 41470 KachelY + 1 10758 0.83429380 1.32954161 47.801514 76.177123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32956452-1.32954161) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32956452-1.32954161) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83419793-0.83429380) × cos(1.32956452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238898946503337 × 6371000     		do = 145.916554790119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83419793-0.83429380) × cos(1.32954161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238921193068629 × 6371000     		du = 145.930142720124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32956452)-sin(1.32954161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238898946503337-0.238921193068629)×R²
    abs(0.83429380-0.83419793)×2.22465652923165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22465652923165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22465652923165e-05×40589641000000     		ar = 21298.9150751073m²