Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41468 / 47622
↖ ↑ ↗
← S 62.930236°
E 47.790527°		 ← 277.98 m → S 62.930236°
E 47.796021°		 →
↑
277.97 m
↓
↑
277.97 m
↓
S 62.932735°
E 47.790527°		 ← 277.96 m →
77 267 m²		 S 62.932735°
E 47.796021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632759094238281 y=0.726661682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632759094238281 × 216)
    floor (0.632759094238281 × 65536)
    floor (41468.5)     		tx = 41468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726661682128906 × 216)
    floor (0.726661682128906 × 65536)
    floor (47622.5)     		ty = 47622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41468 / 47622 ti = "16/41468/47622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41468/47622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41468 ÷ 216
    41468 ÷ 65536     		x = 0.63275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47622 ÷ 216
    47622 ÷ 65536     		y = 0.726654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.45330810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42410941391263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83410205} λ = 0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42410941391263))-π/2
    2×atan(0.240722752106763)-π/2
    2×0.236228257453805-π/2
    0.47245651490761-1.57079632675     		φ = -1.09833981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09833981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.930236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41468 KachelY 47622 0.83410205 -1.09833981 47.790527 -62.930236
    Oben rechts KachelX + 1 41469 KachelY 47622 0.83419793 -1.09833981 47.796021 -62.930236
    Unten links KachelX 41468 KachelY + 1 47623 0.83410205 -1.09838344 47.790527 -62.932735
    Unten rechts KachelX + 1 41469 KachelY + 1 47623 0.83419793 -1.09838344 47.796021 -62.932735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09833981--1.09838344) × R
    4.36300000001832e-05 × 6371000     		dl = 277.966730001167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09833981--1.09838344) × R
    4.36300000001832e-05 × 6371000     		dr = 277.966730001167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83410205-0.83419793) × cos(-1.09833981) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.455075069185339 × 6371000     		do = 277.983279522784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83410205-0.83419793) × cos(-1.09838344) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.455036218284489 × 6371000     		du = 277.959547392501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09833981)-sin(-1.09838344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455075069185339-0.455036218284489)×R²
    abs(0.83419793-0.83410205)×3.88509008496518e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88509008496518e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88509008496518e-05×40589641000000     		ar = 77266.8048445443m²