Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41468 / 10763
↖ ↑ ↗
← N 76.170559°
E 47.790527°		 ← 146.01 m → N 76.170559°
E 47.796021°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
N 76.169246°
E 47.790527°		 ← 146.03 m →
21 313 m²		 N 76.169246°
E 47.796021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632759094238281 y=0.164237976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632759094238281 × 216)
    floor (0.632759094238281 × 65536)
    floor (41468.5)     		tx = 41468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164237976074219 × 216)
    floor (0.164237976074219 × 65536)
    floor (10763.5)     		ty = 10763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41468 / 10763 ti = "16/41468/10763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41468/10763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41468 ÷ 216
    41468 ÷ 65536     		x = 0.63275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10763 ÷ 216
    10763 ÷ 65536     		y = 0.164230346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164230346679688 × 2 - 1) × π
    0.671539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10970295227867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83410205} λ = 0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10970295227867))-π/2
    2×atan(8.24579152721354)-π/2
    2×1.4501116904019-π/2
    2.90022338080381-1.57079632675     		φ = 1.32942705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32942705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.170559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41468 KachelY 10763 0.83410205 1.32942705 47.790527 76.170559
    Oben rechts KachelX + 1 41469 KachelY 10763 0.83419793 1.32942705 47.796021 76.170559
    Unten links KachelX 41468 KachelY + 1 10764 0.83410205 1.32940414 47.790527 76.169246
    Unten rechts KachelX + 1 41469 KachelY + 1 10764 0.83419793 1.32940414 47.796021 76.169246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32942705-1.32940414) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32942705-1.32940414) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83410205-0.83419793) × cos(1.32942705) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239032433723941 × 6371000     		do = 146.013315908176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83410205-0.83419793) × cos(1.32940414) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239054679536591 × 6371000     		du = 146.026904795757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32942705)-sin(1.32940414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239032433723941-0.239054679536591)×R²
    abs(0.83419793-0.83410205)×2.22458126497571e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22458126497571e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22458126497571e-05×40589641000000     		ar = 21313.0383600174m²