Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41467 / 10764
↖ ↑ ↗
← N 76.169246°
E 47.785034°		 ← 146.01 m → N 76.169246°
E 47.790527°		 →
↑
146.02 m
↓
↑
146.02 m
↓
N 76.167933°
E 47.785034°		 ← 146.03 m →
21 322 m²		 N 76.167933°
E 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632743835449219 y=0.164253234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632743835449219 × 216)
    floor (0.632743835449219 × 65536)
    floor (41467.5)     		tx = 41467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164253234863281 × 216)
    floor (0.164253234863281 × 65536)
    floor (10764.5)     		ty = 10764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41467 / 10764 ti = "16/41467/10764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41467/10764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41467 ÷ 216
    41467 ÷ 65536     		x = 0.632736206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10764 ÷ 216
    10764 ÷ 65536     		y = 0.16424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632736206054688 × 2 - 1) × π
    0.265472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83400618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16424560546875 × 2 - 1) × π
    0.6715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10960707847943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83400618} λ = 0.83400618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10960707847943))-π/2
    2×atan(8.24500100974764)-π/2
    2×1.45010023139493-π/2
    2.90020046278987-1.57079632675     		φ = 1.32940414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83400618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.785034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32940414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.169246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41467 KachelY 10764 0.83400618 1.32940414 47.785034 76.169246
    Oben rechts KachelX + 1 41468 KachelY 10764 0.83410205 1.32940414 47.790527 76.169246
    Unten links KachelX 41467 KachelY + 1 10765 0.83400618 1.32938122 47.785034 76.167933
    Unten rechts KachelX + 1 41468 KachelY + 1 10765 0.83410205 1.32938122 47.790527 76.167933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32940414-1.32938122) × R
    2.29200000001484e-05 × 6371000     		dl = 146.023320000945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32940414-1.32938122) × R
    2.29200000001484e-05 × 6371000     		dr = 146.023320000945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83400618-0.83410205) × cos(1.32940414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239054679536591 × 6371000     		do = 146.011674622216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83400618-0.83410205) × cos(1.32938122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239076934933775 × 6371000     		du = 146.025267946632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32940414)-sin(1.32938122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239054679536591-0.239076934933775)×R²
    abs(0.83410205-0.83400618)×2.22553971840067e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22553971840067e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22553971840067e-05×40589641000000     		ar = 21322.1019597092m²