Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41465 / 10755
↖ ↑ ↗
← N 76.181060°
E 47.774048°		 ← 145.90 m → N 76.181060°
E 47.779541°		 →
↑
145.90 m
↓
↑
145.90 m
↓
N 76.179748°
E 47.774048°		 ← 145.92 m →
21 288 m²		 N 76.179748°
E 47.779541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632713317871094 y=0.164115905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632713317871094 × 216)
    floor (0.632713317871094 × 65536)
    floor (41465.5)     		tx = 41465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164115905761719 × 216)
    floor (0.164115905761719 × 65536)
    floor (10755.5)     		ty = 10755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41465 / 10755 ti = "16/41465/10755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41465/10755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41465 ÷ 216
    41465 ÷ 65536     		x = 0.632705688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10755 ÷ 216
    10755 ÷ 65536     		y = 0.164108276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632705688476562 × 2 - 1) × π
    0.265411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83381443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164108276367188 × 2 - 1) × π
    0.671783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11046994267259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83381443} λ = 0.83381443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11046994267259))-π/2
    2×atan(8.25211839611886)-π/2
    2×1.45020332406353-π/2
    2.90040664812706-1.57079632675     		φ = 1.32961032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83381443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.774048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32961032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.181060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41465 KachelY 10755 0.83381443 1.32961032 47.774048 76.181060
    Oben rechts KachelX + 1 41466 KachelY 10755 0.83391031 1.32961032 47.779541 76.181060
    Unten links KachelX 41465 KachelY + 1 10756 0.83381443 1.32958742 47.774048 76.179748
    Unten rechts KachelX + 1 41466 KachelY + 1 10756 0.83391031 1.32958742 47.779541 76.179748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32961032-1.32958742) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dl = 145.895900000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32961032-1.32958742) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dr = 145.895900000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83381443-0.83391031) × cos(1.32961032) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.2388544724177 × 6371000     		do = 145.904607981044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83381443-0.83391031) × cos(1.32958742) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.238876709523153 × 6371000     		du = 145.918191549821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32961032)-sin(1.32958742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2388544724177-0.238876709523153)×R²
    abs(0.83391031-0.83381443)×2.2237105453099e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.2237105453099e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.2237105453099e-05×40589641000000     		ar = 21287.8749898755m²