Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41461 / 10103
↖ ↑ ↗
← N 77.011052°
E 47.752075°		 ← 137.28 m → N 77.011052°
E 47.757568°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 77.009817°
E 47.752075°		 ← 137.30 m →
18 849 m²		 N 77.009817°
E 47.757568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632652282714844 y=0.154167175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632652282714844 × 216)
    floor (0.632652282714844 × 65536)
    floor (41461.5)     		tx = 41461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154167175292969 × 216)
    floor (0.154167175292969 × 65536)
    floor (10103.5)     		ty = 10103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41461 / 10103 ti = "16/41461/10103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41461/10103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41461 ÷ 216
    41461 ÷ 65536     		x = 0.632644653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10103 ÷ 216
    10103 ÷ 65536     		y = 0.154159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632644653320312 × 2 - 1) × π
    0.265289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83343094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154159545898438 × 2 - 1) × π
    0.691680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17297965977715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83343094} λ = 0.83343094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17297965977715))-π/2
    2×atan(8.78441966571227)-π/2
    2×1.4574463700009-π/2
    2.91489274000179-1.57079632675     		φ = 1.34409641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83343094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.752075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34409641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.011052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41461 KachelY 10103 0.83343094 1.34409641 47.752075 77.011052
    Oben rechts KachelX + 1 41462 KachelY 10103 0.83352681 1.34409641 47.757568 77.011052
    Unten links KachelX 41461 KachelY + 1 10104 0.83343094 1.34407486 47.752075 77.009817
    Unten rechts KachelX + 1 41462 KachelY + 1 10104 0.83352681 1.34407486 47.757568 77.009817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34409641-1.34407486) × R
    2.15499999998148e-05 × 6371000     		dl = 137.29504999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34409641-1.34407486) × R
    2.15499999998148e-05 × 6371000     		dr = 137.29504999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83343094-0.83352681) × cos(1.34409641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224763107850783 × 6371000     		do = 137.282557422446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83343094-0.83352681) × cos(1.34407486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224784106408149 × 6371000     		du = 137.295383084473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34409641)-sin(1.34407486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224763107850783-0.224784106408149)×R²
    abs(0.83352681-0.83343094)×2.09985573658145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09985573658145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09985573658145e-05×40589641000000     		ar = 18849.0960359574m²