Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41460 / 10092
↖ ↑ ↗
← N 77.024626°
E 47.746582°		 ← 137.16 m → N 77.024626°
E 47.752075°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 77.023392°
E 47.746582°		 ← 137.17 m →
18 814 m²		 N 77.023392°
E 47.752075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632637023925781 y=0.153999328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632637023925781 × 216)
    floor (0.632637023925781 × 65536)
    floor (41460.5)     		tx = 41460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153999328613281 × 216)
    floor (0.153999328613281 × 65536)
    floor (10092.5)     		ty = 10092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41460 / 10092 ti = "16/41460/10092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41460/10092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41460 ÷ 216
    41460 ÷ 65536     		x = 0.63262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10092 ÷ 216
    10092 ÷ 65536     		y = 0.15399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63262939453125 × 2 - 1) × π
    0.2652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83333506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15399169921875 × 2 - 1) × π
    0.6920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17403427156879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83333506} λ = 0.83333506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17403427156879))-π/2
    2×atan(8.79368870503445)-π/2
    2×1.45756482803426-π/2
    2.91512965606852-1.57079632675     		φ = 1.34433333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83333506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.746582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34433333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.024626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41460 KachelY 10092 0.83333506 1.34433333 47.746582 77.024626
    Oben rechts KachelX + 1 41461 KachelY 10092 0.83343094 1.34433333 47.752075 77.024626
    Unten links KachelX 41460 KachelY + 1 10093 0.83333506 1.34431180 47.746582 77.023392
    Unten rechts KachelX + 1 41461 KachelY + 1 10093 0.83343094 1.34431180 47.752075 77.023392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34433333-1.34431180) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34433333-1.34431180) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83333506-0.83343094) × cos(1.34433333) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224532243513454 × 6371000     		do = 137.155853257824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83333506-0.83343094) × cos(1.34431180) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224553223728605 × 6371000     		du = 137.168669053299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34433333)-sin(1.34431180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224532243513454-0.224553223728605)×R²
    abs(0.83343094-0.83333506)×2.09802151500682e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.09802151500682e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.09802151500682e-05×40589641000000     		ar = 18814.2222889021m²