Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41452 / 10087
↖ ↑ ↗
← N 77.030792°
E 47.702637°		 ← 137.09 m → N 77.030792°
E 47.708130°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
N 77.029559°
E 47.702637°		 ← 137.10 m →
18 797 m²		 N 77.029559°
E 47.708130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632514953613281 y=0.153923034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632514953613281 × 216)
    floor (0.632514953613281 × 65536)
    floor (41452.5)     		tx = 41452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153923034667969 × 216)
    floor (0.153923034667969 × 65536)
    floor (10087.5)     		ty = 10087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41452 / 10087 ti = "16/41452/10087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41452/10087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41452 ÷ 216
    41452 ÷ 65536     		x = 0.63250732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10087 ÷ 216
    10087 ÷ 65536     		y = 0.153915405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63250732421875 × 2 - 1) × π
    0.2650146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83256807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153915405273438 × 2 - 1) × π
    0.692169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17451364056499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83256807} λ = 0.83256807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17451364056499))-π/2
    2×atan(8.79790513729459)-π/2
    2×1.45761863236465-π/2
    2.91523726472931-1.57079632675     		φ = 1.34444094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83256807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.702637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34444094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.030792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41452 KachelY 10087 0.83256807 1.34444094 47.702637 77.030792
    Oben rechts KachelX + 1 41453 KachelY 10087 0.83266395 1.34444094 47.708130 77.030792
    Unten links KachelX 41452 KachelY + 1 10088 0.83256807 1.34441942 47.702637 77.029559
    Unten rechts KachelX + 1 41453 KachelY + 1 10088 0.83266395 1.34441942 47.708130 77.029559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34444094-1.34441942) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34444094-1.34441942) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83256807-0.83266395) × cos(1.34444094) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224427379856333 × 6371000     		do = 137.091797137832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83256807-0.83266395) × cos(1.34441942) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224448350846732 × 6371000     		du = 137.104607298354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34444094)-sin(1.34441942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224427379856333-0.224448350846732)×R²
    abs(0.83266395-0.83256807)×2.09709903991329e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09709903991329e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09709903991329e-05×40589641000000     		ar = 18796.7009497596m²