Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41451 / 10077
↖ ↑ ↗
← N 77.043114°
E 47.697144°		 ← 136.95 m → N 77.043114°
E 47.702637°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
N 77.041882°
E 47.697144°		 ← 136.96 m →
18 751 m²		 N 77.041882°
E 47.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632499694824219 y=0.153770446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632499694824219 × 216)
    floor (0.632499694824219 × 65536)
    floor (41451.5)     		tx = 41451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153770446777344 × 216)
    floor (0.153770446777344 × 65536)
    floor (10077.5)     		ty = 10077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41451 / 10077 ti = "16/41451/10077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41451/10077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41451 ÷ 216
    41451 ÷ 65536     		x = 0.632492065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10077 ÷ 216
    10077 ÷ 65536     		y = 0.153762817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632492065429688 × 2 - 1) × π
    0.264984130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83247220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153762817382812 × 2 - 1) × π
    0.692474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17547237855739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83247220} λ = 0.83247220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17547237855739))-π/2
    2×atan(8.80634406791855)-π/2
    2×1.4577261656516-π/2
    2.91545233130319-1.57079632675     		φ = 1.34465600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83247220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.697144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34465600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.043114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41451 KachelY 10077 0.83247220 1.34465600 47.697144 77.043114
    Oben rechts KachelX + 1 41452 KachelY 10077 0.83256807 1.34465600 47.702637 77.043114
    Unten links KachelX 41451 KachelY + 1 10078 0.83247220 1.34463451 47.697144 77.041882
    Unten rechts KachelX + 1 41452 KachelY + 1 10078 0.83256807 1.34463451 47.702637 77.041882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34465600-1.34463451) × R
    2.14900000001794e-05 × 6371000     		dl = 136.912790001143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34465600-1.34463451) × R
    2.14900000001794e-05 × 6371000     		dr = 136.912790001143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83247220-0.83256807) × cos(1.34465600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224217800673009 × 6371000     		do = 136.949490467368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83247220-0.83256807) × cos(1.34463451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224238743465615 × 6371000     		du = 136.962282068962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34465600)-sin(1.34463451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224217800673009-0.224238743465615)×R²
    abs(0.83256807-0.83247220)×2.09427926061156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09427926061156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09427926061156e-05×40589641000000     		ar = 18751.012496825m²