Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4145 / 12498
↖ ↑ ↗
← N 39.215231°
W134.461670°		 ← 946.50 m → N 39.215231°
W134.450684°		 →
↑
946.54 m
↓
↑
946.54 m
↓
N 39.206719°
W134.461670°		 ← 946.61 m →
895 951 m²		 N 39.206719°
W134.450684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126510620117188 y=0.381423950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126510620117188 × 215)
    floor (0.126510620117188 × 32768)
    floor (4145.5)     		tx = 4145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381423950195312 × 215)
    floor (0.381423950195312 × 32768)
    floor (12498.5)     		ty = 12498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4145 / 12498 ti = "15/4145/12498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4145/12498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4145 ÷ 215
    4145 ÷ 32768     		x = 0.126495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12498 ÷ 215
    12498 ÷ 32768     		y = 0.38140869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.74700927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34679886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38140869140625 × 2 - 1) × π
    0.2371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.745131167694153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34679886} λ = -2.34679886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745131167694153))-π/2
    2×atan(2.10671775016804)-π/2
    2×1.12761561502672-π/2
    2.25523123005344-1.57079632675     		φ = 0.68443490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34679886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.461670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68443490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.215231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4145 KachelY 12498 -2.34679886 0.68443490 -134.461670 39.215231
    Oben rechts KachelX + 1 4146 KachelY 12498 -2.34660711 0.68443490 -134.450684 39.215231
    Unten links KachelX 4145 KachelY + 1 12499 -2.34679886 0.68428633 -134.461670 39.206719
    Unten rechts KachelX + 1 4146 KachelY + 1 12499 -2.34660711 0.68428633 -134.450684 39.206719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68443490-0.68428633) × R
    0.000148569999999904 × 6371000     		dl = 946.539469999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68443490-0.68428633) × R
    0.000148569999999904 × 6371000     		dr = 946.539469999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34679886--2.34660711) × cos(0.68443490) × R
    0.000191749999999935 × 0.774776446941003 × 6371000     		do = 946.497317558351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34679886--2.34660711) × cos(0.68428633) × R
    0.000191749999999935 × 0.774870369586308 × 6371000     		du = 946.612057148319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68443490)-sin(0.68428633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774776446941003-0.774870369586308)×R²
    abs(-2.34660711--2.34679886)×9.39226453050557e-05×R²
    0.000191749999999935×9.39226453050557e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.39226453050557e-05×40589641000000     		ar = 895951.373741423m²