Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 41441 / 23073
↖ ↑ ↗
← N 75.117517°
W 66.178894°		 ← 78.44 m → N 75.117517°
W 66.176147°		 →
↑
78.43 m
↓
↑
78.43 m
↓
N 75.116811°
W 66.178894°		 ← 78.45 m →
6 152 m²		 N 75.116811°
W 66.176147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.316173553466797 y=0.176036834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.316173553466797 × 217)
    floor (0.316173553466797 × 131072)
    floor (41441.5)     		tx = 41441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176036834716797 × 217)
    floor (0.176036834716797 × 131072)
    floor (23073.5)     		ty = 23073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 41441 / 23073 ti = "17/41441/23073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/41441/23073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41441 ÷ 217
    41441 ÷ 131072     		x = 0.316169738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23073 ÷ 217
    23073 ÷ 131072     		y = 0.176033020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.316169738769531 × 2 - 1) × π
    -0.367660522460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.15503960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.176033020019531 × 2 - 1) × π
    0.647933959960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.03554456856644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15503960} λ = -1.15503960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03554456856644))-π/2
    2×atan(7.6564204363112)-π/2
    2×1.4409221587587-π/2
    2.88184431751741-1.57079632675     		φ = 1.31104799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15503960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -66.178894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31104799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.117517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41441 KachelY 23073 -1.15503960 1.31104799 -66.178894 75.117517
    Oben rechts KachelX + 1 41442 KachelY 23073 -1.15499166 1.31104799 -66.176147 75.117517
    Unten links KachelX 41441 KachelY + 1 23074 -1.15503960 1.31103568 -66.178894 75.116811
    Unten rechts KachelX + 1 41442 KachelY + 1 23074 -1.15499166 1.31103568 -66.176147 75.116811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31104799-1.31103568) × R
    1.23100000000154e-05 × 6371000     		dl = 78.4270100000979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31104799-1.31103568) × R
    1.23100000000154e-05 × 6371000     		dr = 78.4270100000979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15503960--1.15499166) × cos(1.31104799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.256837338954428 × 6371000     		do = 78.4447343097355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15503960--1.15499166) × cos(1.31103568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.256849235991651 × 6371000     		du = 78.4483679711331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31104799)-sin(1.31103568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256837338954428-0.256849235991651)×R²
    abs(-1.15499166--1.15503960)×1.18970372225968e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.18970372225968e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.18970372225968e-05×40589641000000     		ar = 6152.32845073962m²