Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41439 / 10081
↖ ↑ ↗
← N 77.038186°
E 47.631225°		 ← 137.01 m → N 77.038186°
E 47.636719°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
N 77.036954°
E 47.631225°		 ← 137.03 m →
18 769 m²		 N 77.036954°
E 47.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632316589355469 y=0.153831481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632316589355469 × 216)
    floor (0.632316589355469 × 65536)
    floor (41439.5)     		tx = 41439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153831481933594 × 216)
    floor (0.153831481933594 × 65536)
    floor (10081.5)     		ty = 10081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41439 / 10081 ti = "16/41439/10081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41439/10081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41439 ÷ 216
    41439 ÷ 65536     		x = 0.632308959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10081 ÷ 216
    10081 ÷ 65536     		y = 0.153823852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632308959960938 × 2 - 1) × π
    0.264617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83132171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153823852539062 × 2 - 1) × π
    0.692352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17508888336043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83132171} λ = 0.83132171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17508888336043))-π/2
    2×atan(8.80296752475115)-π/2
    2×1.45768316439272-π/2
    2.91536632878545-1.57079632675     		φ = 1.34457000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83132171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.631225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34457000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.038186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41439 KachelY 10081 0.83132171 1.34457000 47.631225 77.038186
    Oben rechts KachelX + 1 41440 KachelY 10081 0.83141759 1.34457000 47.636719 77.038186
    Unten links KachelX 41439 KachelY + 1 10082 0.83132171 1.34454850 47.631225 77.036954
    Unten rechts KachelX + 1 41440 KachelY + 1 10082 0.83141759 1.34454850 47.636719 77.036954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34457000-1.34454850) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dl = 136.976500000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34457000-1.34454850) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dr = 136.976500000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83132171-0.83141759) × cos(1.34457000) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224301610202837 × 6371000     		do = 137.014970558855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83132171-0.83141759) × cos(1.34454850) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.22432256232611 × 6371000     		du = 137.027769194365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34457000)-sin(1.34454850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224301610202837-0.22432256232611)×R²
    abs(0.83141759-0.83132171)×2.09521232728827e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09521232728827e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09521232728827e-05×40589641000000     		ar = 18768.7076717843m²