Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41433 / 8231
↖ ↑ ↗
← N 79.131012°
E 47.598267°		 ← 115.17 m → N 79.131012°
E 47.603760°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
N 79.129976°
E 47.598267°		 ← 115.18 m →
13 267 m²		 N 79.129976°
E 47.603760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632225036621094 y=0.125602722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632225036621094 × 216)
    floor (0.632225036621094 × 65536)
    floor (41433.5)     		tx = 41433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125602722167969 × 216)
    floor (0.125602722167969 × 65536)
    floor (8231.5)     		ty = 8231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41433 / 8231 ti = "16/41433/8231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41433/8231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41433 ÷ 216
    41433 ÷ 65536     		x = 0.632217407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8231 ÷ 216
    8231 ÷ 65536     		y = 0.125595092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632217407226562 × 2 - 1) × π
    0.264434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83074647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125595092773438 × 2 - 1) × π
    0.748809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35245541195464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83074647} λ = 0.83074647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35245541195464))-π/2
    2×atan(10.5113477528687)-π/2
    2×1.47594651359478-π/2
    2.95189302718955-1.57079632675     		φ = 1.38109670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83074647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.598267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38109670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.131012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41433 KachelY 8231 0.83074647 1.38109670 47.598267 79.131012
    Oben rechts KachelX + 1 41434 KachelY 8231 0.83084234 1.38109670 47.603760 79.131012
    Unten links KachelX 41433 KachelY + 1 8232 0.83074647 1.38107862 47.598267 79.129976
    Unten rechts KachelX + 1 41434 KachelY + 1 8232 0.83084234 1.38107862 47.603760 79.129976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38109670-1.38107862) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38109670-1.38107862) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83074647-0.83084234) × cos(1.38109670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1885639187016 × 6371000     		do = 115.172535406209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83074647-0.83084234) × cos(1.38107862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.188581674332195 × 6371000     		du = 115.183380328225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38109670)-sin(1.38107862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1885639187016-0.188581674332195)×R²
    abs(0.83084234-0.83074647)×1.77556305945015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.77556305945015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.77556305945015e-05×40589641000000     		ar = 13267.0817544216m²