Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41430 / 10097
↖ ↑ ↗
← N 77.018458°
E 47.581787°		 ← 137.21 m → N 77.018458°
E 47.587280°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 77.017223°
E 47.581787°		 ← 137.22 m →
18 830 m²		 N 77.017223°
E 47.587280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632179260253906 y=0.154075622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632179260253906 × 216)
    floor (0.632179260253906 × 65536)
    floor (41430.5)     		tx = 41430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154075622558594 × 216)
    floor (0.154075622558594 × 65536)
    floor (10097.5)     		ty = 10097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41430 / 10097 ti = "16/41430/10097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41430/10097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41430 ÷ 216
    41430 ÷ 65536     		x = 0.632171630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10097 ÷ 216
    10097 ÷ 65536     		y = 0.154067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632171630859375 × 2 - 1) × π
    0.26434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83045885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154067993164062 × 2 - 1) × π
    0.691864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17355490257259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83045885} λ = 0.83045885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17355490257259))-π/2
    2×atan(8.78947429351683)-π/2
    2×1.45751099856442-π/2
    2.91502199712884-1.57079632675     		φ = 1.34422567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83045885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.581787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34422567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.018458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41430 KachelY 10097 0.83045885 1.34422567 47.581787 77.018458
    Oben rechts KachelX + 1 41431 KachelY 10097 0.83055472 1.34422567 47.587280 77.018458
    Unten links KachelX 41430 KachelY + 1 10098 0.83045885 1.34420413 47.581787 77.017223
    Unten rechts KachelX + 1 41431 KachelY + 1 10098 0.83055472 1.34420413 47.587280 77.017223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34422567-1.34420413) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34422567-1.34420413) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83045885-0.83055472) × cos(1.34422567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224637153292637 × 6371000     		do = 137.205625918755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83045885-0.83055472) × cos(1.34420413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22465814273157 × 6371000     		du = 137.218446011354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34422567)-sin(1.34420413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224637153292637-0.22465814273157)×R²
    abs(0.83055472-0.83045885)×2.09894389328336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09894389328336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09894389328336e-05×40589641000000     		ar = 18829.7915601225m²