Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4143 / 12497
↖ ↑ ↗
← N 39.223743°
W134.483642°		 ← 946.33 m → N 39.223743°
W134.472657°		 →
↑
946.48 m
↓
↑
946.48 m
↓
N 39.215231°
W134.483642°		 ← 946.45 m →
895 736 m²		 N 39.215231°
W134.472657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126449584960938 y=0.381393432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126449584960938 × 215)
    floor (0.126449584960938 × 32768)
    floor (4143.5)     		tx = 4143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381393432617188 × 215)
    floor (0.381393432617188 × 32768)
    floor (12497.5)     		ty = 12497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4143 / 12497 ti = "15/4143/12497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4143/12497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4143 ÷ 215
    4143 ÷ 32768     		x = 0.126434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12497 ÷ 215
    12497 ÷ 32768     		y = 0.381378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.74713134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34718235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381378173828125 × 2 - 1) × π
    0.23724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.745322915292633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34718235} λ = -2.34718235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745322915292633))-π/2
    2×atan(2.10712174696878)-π/2
    2×1.12768989128545-π/2
    2.2553797825709-1.57079632675     		φ = 0.68458346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34718235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.483642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68458346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.223743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4143 KachelY 12497 -2.34718235 0.68458346 -134.483642 39.223743
    Oben rechts KachelX + 1 4144 KachelY 12497 -2.34699061 0.68458346 -134.472657 39.223743
    Unten links KachelX 4143 KachelY + 1 12498 -2.34718235 0.68443490 -134.483642 39.215231
    Unten rechts KachelX + 1 4144 KachelY + 1 12498 -2.34699061 0.68443490 -134.472657 39.215231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68458346-0.68443490) × R
    0.000148560000000075 × 6371000     		dl = 946.47576000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68458346-0.68443490) × R
    0.000148560000000075 × 6371000     		dr = 946.47576000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34718235--2.34699061) × cos(0.68458346) × R
    0.000191739999999996 × 0.774682513517526 × 6371000     		do = 946.333209778709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34718235--2.34699061) × cos(0.68443490) × R
    0.000191739999999996 × 0.774776446941003 × 6371000     		du = 946.447956551216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68458346)-sin(0.68443490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774682513517526-0.774776446941003)×R²
    abs(-2.34699061--2.34718235)×9.39334234765221e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39334234765221e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39334234765221e-05×40589641000000     		ar = 895735.748105268m²