Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41413 / 47557
↖ ↑ ↗
← S 62.767297°
E 47.488403°		 ← 279.53 m → S 62.767297°
E 47.493897°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
S 62.769811°
E 47.488403°		 ← 279.51 m →
78 124 m²		 S 62.769811°
E 47.493897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631919860839844 y=0.725669860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631919860839844 × 216)
    floor (0.631919860839844 × 65536)
    floor (41413.5)     		tx = 41413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725669860839844 × 216)
    floor (0.725669860839844 × 65536)
    floor (47557.5)     		ty = 47557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41413 / 47557 ti = "16/41413/47557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41413/47557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41413 ÷ 216
    41413 ÷ 65536     		x = 0.631912231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47557 ÷ 216
    47557 ÷ 65536     		y = 0.725662231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631912231445312 × 2 - 1) × π
    0.263824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82882899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725662231445312 × 2 - 1) × π
    -0.451324462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41787761696202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82882899} λ = 0.82882899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41787761696202))-π/2
    2×atan(0.242227571413462)-π/2
    2×0.237650164774634-π/2
    0.475300329549268-1.57079632675     		φ = -1.09549600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82882899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.488403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09549600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.767297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41413 KachelY 47557 0.82882899 -1.09549600 47.488403 -62.767297
    Oben rechts KachelX + 1 41414 KachelY 47557 0.82892487 -1.09549600 47.493897 -62.767297
    Unten links KachelX 41413 KachelY + 1 47558 0.82882899 -1.09553987 47.488403 -62.769811
    Unten rechts KachelX + 1 41414 KachelY + 1 47558 0.82892487 -1.09553987 47.493897 -62.769811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09549600--1.09553987) × R
    4.38700000000569e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09549600--1.09553987) × R
    4.38700000000569e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82882899-0.82892487) × cos(-1.09549600) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.457605504982659 × 6371000     		do = 279.528999974945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82882899-0.82892487) × cos(-1.09553987) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.457566497297973 × 6371000     		du = 279.505172073023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09549600)-sin(-1.09553987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457605504982659-0.457566497297973)×R²
    abs(0.82892487-0.82882899)×3.90076846863985e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.90076846863985e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.90076846863985e-05×40589641000000     		ar = 78123.8431988111m²