Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41411 / 8771
↖ ↑ ↗
← N 78.557219°
E 47.477417°		 ← 121.17 m → N 78.557219°
E 47.482910°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
N 78.556130°
E 47.477417°		 ← 121.19 m →
14 684 m²		 N 78.556130°
E 47.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631889343261719 y=0.133842468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631889343261719 × 216)
    floor (0.631889343261719 × 65536)
    floor (41411.5)     		tx = 41411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133842468261719 × 216)
    floor (0.133842468261719 × 65536)
    floor (8771.5)     		ty = 8771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41411 / 8771 ti = "16/41411/8771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41411/8771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41411 ÷ 216
    41411 ÷ 65536     		x = 0.631881713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8771 ÷ 216
    8771 ÷ 65536     		y = 0.133834838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631881713867188 × 2 - 1) × π
    0.263763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82863725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133834838867188 × 2 - 1) × π
    0.732330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30068356036498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82863725} λ = 0.82863725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30068356036498))-π/2
    2×atan(9.98100274138708)-π/2
    2×1.47093922818508-π/2
    2.94187845637015-1.57079632675     		φ = 1.37108213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82863725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.477417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37108213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.557219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41411 KachelY 8771 0.82863725 1.37108213 47.477417 78.557219
    Oben rechts KachelX + 1 41412 KachelY 8771 0.82873312 1.37108213 47.482910 78.557219
    Unten links KachelX 41411 KachelY + 1 8772 0.82863725 1.37106311 47.477417 78.556130
    Unten rechts KachelX + 1 41412 KachelY + 1 8772 0.82873312 1.37106311 47.482910 78.556130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37108213-1.37106311) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37108213-1.37106311) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82863725-0.82873312) × cos(1.37108213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198389216515713 × 6371000     		do = 121.173707147677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82863725-0.82873312) × cos(1.37106311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198407858425338 × 6371000     		du = 121.185093398085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37108213)-sin(1.37106311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198389216515713-0.198407858425338)×R²
    abs(0.82873312-0.82863725)×1.86419096253887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86419096253887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86419096253887e-05×40589641000000     		ar = 14684.0859031366m²