Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41409 / 47552
↖ ↑ ↗
← S 62.754726°
E 47.466431°		 ← 279.62 m → S 62.754726°
E 47.471924°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
S 62.757241°
E 47.466431°		 ← 279.60 m →
78 185 m²		 S 62.757241°
E 47.471924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631858825683594 y=0.725593566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631858825683594 × 216)
    floor (0.631858825683594 × 65536)
    floor (41409.5)     		tx = 41409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725593566894531 × 216)
    floor (0.725593566894531 × 65536)
    floor (47552.5)     		ty = 47552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41409 / 47552 ti = "16/41409/47552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41409/47552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41409 ÷ 216
    41409 ÷ 65536     		x = 0.631851196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47552 ÷ 216
    47552 ÷ 65536     		y = 0.7255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631851196289062 × 2 - 1) × π
    0.263702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82844550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7255859375 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82844550} λ = 0.82844550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41739824796582))-π/2
    2×atan(0.242343715636968)-π/2
    2×0.237759869098299-π/2
    0.475519738196597-1.57079632675     		φ = -1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82844550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.466431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41409 KachelY 47552 0.82844550 -1.09527659 47.466431 -62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 41410 KachelY 47552 0.82854137 -1.09527659 47.471924 -62.754726
    Unten links KachelX 41409 KachelY + 1 47553 0.82844550 -1.09532048 47.466431 -62.757241
    Unten rechts KachelX + 1 41410 KachelY + 1 47553 0.82854137 -1.09532048 47.471924 -62.757241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09527659--1.09532048) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09527659--1.09532048) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82844550-0.82854137) × cos(-1.09527659) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 279.618997523843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82844550-0.82854137) × cos(-1.09532048) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.457761562476684 × 6371000     		du = 279.595163937167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09527659)-sin(-1.09532048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.457761562476684)×R²
    abs(0.82854137-0.82844550)×3.90210607455477e-05×R²
    9.58700000001089e-05×3.90210607455477e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×3.90210607455477e-05×40589641000000     		ar = 78184.6238729438m²