Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41407 / 8770
↖ ↑ ↗
← N 78.558309°
E 47.455444°		 ← 121.17 m → N 78.558309°
E 47.460938°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
N 78.557219°
E 47.455444°		 ← 121.19 m →
14 684 m²		 N 78.557219°
E 47.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631828308105469 y=0.133827209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631828308105469 × 216)
    floor (0.631828308105469 × 65536)
    floor (41407.5)     		tx = 41407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133827209472656 × 216)
    floor (0.133827209472656 × 65536)
    floor (8770.5)     		ty = 8770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41407 / 8770 ti = "16/41407/8770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41407/8770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41407 ÷ 216
    41407 ÷ 65536     		x = 0.631820678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8770 ÷ 216
    8770 ÷ 65536     		y = 0.133819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631820678710938 × 2 - 1) × π
    0.263641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82825375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133819580078125 × 2 - 1) × π
    0.73236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30077943416422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82825375} λ = 0.82825375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30077943416422))-π/2
    2×atan(9.98195970391321)-π/2
    2×1.47094873790224-π/2
    2.94189747580448-1.57079632675     		φ = 1.37110115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82825375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.455444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37110115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.558309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41407 KachelY 8770 0.82825375 1.37110115 47.455444 78.558309
    Oben rechts KachelX + 1 41408 KachelY 8770 0.82834963 1.37110115 47.460938 78.558309
    Unten links KachelX 41407 KachelY + 1 8771 0.82825375 1.37108213 47.455444 78.557219
    Unten rechts KachelX + 1 41408 KachelY + 1 8771 0.82834963 1.37108213 47.460938 78.557219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37110115-1.37108213) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37110115-1.37108213) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82825375-0.82834963) × cos(1.37110115) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198370574534318 × 6371000     		do = 121.174959042659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82825375-0.82834963) × cos(1.37108213) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.198389216515713 × 6371000     		du = 121.186346524584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37110115)-sin(1.37108213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198370574534318-0.198389216515713)×R²
    abs(0.82834963-0.82825375)×1.86419813947569e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.86419813947569e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.86419813947569e-05×40589641000000     		ar = 14684.2376782804m²