Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41407 / 10688
↖ ↑ ↗
← N 76.268695°
E 47.455444°		 ← 145 m → N 76.268695°
E 47.460938°		 →
↑
145 m
↓
↑
145 m
↓
N 76.267391°
E 47.455444°		 ← 145.01 m →
21 026 m²		 N 76.267391°
E 47.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631828308105469 y=0.163093566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631828308105469 × 216)
    floor (0.631828308105469 × 65536)
    floor (41407.5)     		tx = 41407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163093566894531 × 216)
    floor (0.163093566894531 × 65536)
    floor (10688.5)     		ty = 10688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41407 / 10688 ti = "16/41407/10688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41407/10688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41407 ÷ 216
    41407 ÷ 65536     		x = 0.631820678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10688 ÷ 216
    10688 ÷ 65536     		y = 0.1630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631820678710938 × 2 - 1) × π
    0.263641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82825375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    0.673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82825375} λ = 0.82825375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11689348722168))-π/2
    2×atan(8.30529686052456)-π/2
    2×1.45096808231764-π/2
    2.90193616463529-1.57079632675     		φ = 1.33113984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82825375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.455444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33113984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.268695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41407 KachelY 10688 0.82825375 1.33113984 47.455444 76.268695
    Oben rechts KachelX + 1 41408 KachelY 10688 0.82834963 1.33113984 47.460938 76.268695
    Unten links KachelX 41407 KachelY + 1 10689 0.82825375 1.33111708 47.455444 76.267391
    Unten rechts KachelX + 1 41408 KachelY + 1 10689 0.82834963 1.33111708 47.460938 76.267391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33113984-1.33111708) × R
    2.27600000000105e-05 × 6371000     		dl = 145.003960000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33113984-1.33111708) × R
    2.27600000000105e-05 × 6371000     		dr = 145.003960000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82825375-0.82834963) × cos(1.33113984) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.237368944988105 × 6371000     		do = 144.997171351927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82825375-0.82834963) × cos(1.33111708) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23739105443607 × 6371000     		du = 145.010676940939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33113984)-sin(1.33111708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237368944988105-0.23739105443607)×R²
    abs(0.82834963-0.82825375)×2.21094479655182e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.21094479655182e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.21094479655182e-05×40589641000000     		ar = 21026.1432176907m²