Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41407 / 10687
↖ ↑ ↗
← N 76.269998°
E 47.455444°		 ← 144.98 m → N 76.269998°
E 47.460938°		 →
↑
144.94 m
↓
↑
144.94 m
↓
N 76.268695°
E 47.455444°		 ← 145 m →
21 015 m²		 N 76.268695°
E 47.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631828308105469 y=0.163078308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631828308105469 × 216)
    floor (0.631828308105469 × 65536)
    floor (41407.5)     		tx = 41407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163078308105469 × 216)
    floor (0.163078308105469 × 65536)
    floor (10687.5)     		ty = 10687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41407 / 10687 ti = "16/41407/10687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41407/10687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41407 ÷ 216
    41407 ÷ 65536     		x = 0.631820678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10687 ÷ 216
    10687 ÷ 65536     		y = 0.163070678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631820678710938 × 2 - 1) × π
    0.263641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82825375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163070678710938 × 2 - 1) × π
    0.673858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11698936102092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82825375} λ = 0.82825375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11698936102092))-π/2
    2×atan(8.30609315905987)-π/2
    2×1.45097946051918-π/2
    2.90195892103836-1.57079632675     		φ = 1.33116259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82825375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.455444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33116259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.269998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41407 KachelY 10687 0.82825375 1.33116259 47.455444 76.269998
    Oben rechts KachelX + 1 41408 KachelY 10687 0.82834963 1.33116259 47.460938 76.269998
    Unten links KachelX 41407 KachelY + 1 10688 0.82825375 1.33113984 47.455444 76.268695
    Unten rechts KachelX + 1 41408 KachelY + 1 10688 0.82834963 1.33113984 47.460938 76.268695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33116259-1.33113984) × R
    2.27499999998493e-05 × 6371000     		dl = 144.94024999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33116259-1.33113984) × R
    2.27499999998493e-05 × 6371000     		dr = 144.94024999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82825375-0.82834963) × cos(1.33116259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.237346845131428 × 6371000     		do = 144.983671621768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82825375-0.82834963) × cos(1.33113984) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.237368944988105 × 6371000     		du = 144.997171351927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33116259)-sin(1.33113984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237346845131428-0.237368944988105)×R²
    abs(0.82834963-0.82825375)×2.20998566769215e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.20998566769215e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.20998566769215e-05×40589641000000     		ar = 21014.9479386092m²