Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41404 / 8764
↖ ↑ ↗
← N 78.564845°
E 47.438965°		 ← 121.09 m → N 78.564845°
E 47.444458°		 →
↑
121.11 m
↓
↑
121.11 m
↓
N 78.563756°
E 47.438965°		 ← 121.11 m →
14 667 m²		 N 78.563756°
E 47.444458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631782531738281 y=0.133735656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631782531738281 × 216)
    floor (0.631782531738281 × 65536)
    floor (41404.5)     		tx = 41404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133735656738281 × 216)
    floor (0.133735656738281 × 65536)
    floor (8764.5)     		ty = 8764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41404 / 8764 ti = "16/41404/8764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41404/8764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41404 ÷ 216
    41404 ÷ 65536     		x = 0.63177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8764 ÷ 216
    8764 ÷ 65536     		y = 0.13372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63177490234375 × 2 - 1) × π
    0.2635498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82796613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13372802734375 × 2 - 1) × π
    0.7325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30135467695966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82796613} λ = 0.82796613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30135467695966))-π/2
    2×atan(9.98770340617055)-π/2
    2×1.47100577744304-π/2
    2.94201155488608-1.57079632675     		φ = 1.37121523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82796613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.438965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37121523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.564845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41404 KachelY 8764 0.82796613 1.37121523 47.438965 78.564845
    Oben rechts KachelX + 1 41405 KachelY 8764 0.82806200 1.37121523 47.444458 78.564845
    Unten links KachelX 41404 KachelY + 1 8765 0.82796613 1.37119622 47.438965 78.563756
    Unten rechts KachelX + 1 41405 KachelY + 1 8765 0.82806200 1.37119622 47.444458 78.563756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37121523-1.37119622) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dl = 121.112709999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37121523-1.37119622) × R
    1.90099999999305e-05 × 6371000     		dr = 121.112709999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82796613-0.82806200) × cos(1.37121523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.19825876034516 × 6371000     		do = 121.094026114182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82796613-0.82806200) × cos(1.37119622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198277392955419 × 6371000     		du = 121.105406684651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37121523)-sin(1.37119622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19825876034516-0.198277392955419)×R²
    abs(0.82806200-0.82796613)×1.86326102588619e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86326102588619e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86326102588619e-05×40589641000000     		ar = 14666.7148336468m²