Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 414 / 93
↖ ↑ ↗
← N 81.255032°
W 34.453125°		 ← 5 943.41 m → N 81.255032°
W 34.101563°		 →
↑
5 961.47 m
↓
↑
5 961.47 m
↓
N 81.201420°
W 34.453125°		 ← 5 979.56 m →
35 539 207 m²		 N 81.201420°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40478515625 y=0.09130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40478515625 × 210)
    floor (0.40478515625 × 1024)
    floor (414.5)     		tx = 414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09130859375 × 210)
    floor (0.09130859375 × 1024)
    floor (93.5)     		ty = 93
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 414 / 93 ti = "10/414/93"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/414/93.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 414 ÷ 210
    414 ÷ 1024     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93 ÷ 210
    93 ÷ 1024     		y = 0.0908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908203125 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57095180042285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57095180042285))-π/2
    2×atan(13.0782664183627)-π/2
    2×1.49448208710832-π/2
    2.98896417421665-1.57079632675     		φ = 1.41816785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41816785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.255032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 414 KachelY 93 -0.60132047 1.41816785 -34.453125 81.255032
    Oben rechts KachelX + 1 415 KachelY 93 -0.59518455 1.41816785 -34.101563 81.255032
    Unten links KachelX 414 KachelY + 1 94 -0.60132047 1.41723213 -34.453125 81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 415 KachelY + 1 94 -0.59518455 1.41723213 -34.101563 81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41816785-1.41723213) × R
    0.000935719999999973 × 6371000     		dl = 5961.47211999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41816785-1.41723213) × R
    0.000935719999999973 × 6371000     		dr = 5961.47211999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.59518455) × cos(1.41816785) × R
    0.00613591999999996 × 0.152036575089231 × 6371000     		do = 5943.40563206484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.59518455) × cos(1.41723213) × R
    0.00613591999999996 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 5979.5569038107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41816785)-sin(1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152036575089231-0.152961350526349)×R²
    abs(-0.59518455--0.60132047)×0.000924775437117775×R²
    0.00613591999999996×0.000924775437117775×6371000²
    0.00613591999999996×0.000924775437117775×40589641000000     		ar = 35539206.965788m²