Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 414 / 794
↖ ↑ ↗
← S 69.900118°
W 34.453125°		 ← 13.434 km → S 69.900118°
W 34.101563°		 →
↑
13.396 km
↓
↑
13.396 km
↓
S 70.020587°
W 34.453125°		 ← 13.357 km →
179.443 km²		 S 70.020587°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40478515625 y=0.77587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40478515625 × 210)
    floor (0.40478515625 × 1024)
    floor (414.5)     		tx = 414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77587890625 × 210)
    floor (0.77587890625 × 1024)
    floor (794.5)     		ty = 794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 414 / 794 ti = "10/414/794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/414/794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 414 ÷ 210
    414 ÷ 1024     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 794 ÷ 210
    794 ÷ 1024     		y = 0.775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775390625 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73033032868555))-π/2
    2×atan(0.177225857515075)-π/2
    2×0.175404563347454-π/2
    0.350809126694908-1.57079632675     		φ = -1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 414 KachelY 794 -0.60132047 -1.21998720 -34.453125 -69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 415 KachelY 794 -0.59518455 -1.21998720 -34.101563 -69.900118
    Unten links KachelX 414 KachelY + 1 795 -0.60132047 -1.22208979 -34.453125 -70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 415 KachelY + 1 795 -0.59518455 -1.22208979 -34.101563 -70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21998720--1.22208979) × R
    0.00210259000000002 × 6371000     		dl = 13395.6008900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21998720--1.22208979) × R
    0.00210259000000002 × 6371000     		dr = 13395.6008900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.59518455) × cos(-1.21998720) × R
    0.00613591999999996 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 13434.2509706195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.59518455) × cos(-1.22208979) × R
    0.00613591999999996 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 13357.0330459388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21998720)-sin(-1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.341682476912264)×R²
    abs(-0.59518455--0.60132047)×0.00197528984739159×R²
    0.00613591999999996×0.00197528984739159×6371000²
    0.00613591999999996×0.00197528984739159×40589641000000     		ar = 179442740.116195m²