Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41398 / 8774
↖ ↑ ↗
← N 78.553950°
E 47.406006°		 ← 121.21 m → N 78.553950°
E 47.411499°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
N 78.552859°
E 47.406006°		 ← 121.22 m →
14 696 m²		 N 78.552859°
E 47.411499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631690979003906 y=0.133888244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631690979003906 × 216)
    floor (0.631690979003906 × 65536)
    floor (41398.5)     		tx = 41398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133888244628906 × 216)
    floor (0.133888244628906 × 65536)
    floor (8774.5)     		ty = 8774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41398 / 8774 ti = "16/41398/8774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41398/8774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41398 ÷ 216
    41398 ÷ 65536     		x = 0.631683349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8774 ÷ 216
    8774 ÷ 65536     		y = 0.133880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631683349609375 × 2 - 1) × π
    0.26336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82739089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133880615234375 × 2 - 1) × π
    0.73223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30039593896725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82739089} λ = 0.82739089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30039593896725))-π/2
    2×atan(9.97813240423293)-π/2
    2×1.47091069367134-π/2
    2.94182138734269-1.57079632675     		φ = 1.37102506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82739089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.406006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37102506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.553950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41398 KachelY 8774 0.82739089 1.37102506 47.406006 78.553950
    Oben rechts KachelX + 1 41399 KachelY 8774 0.82748676 1.37102506 47.411499 78.553950
    Unten links KachelX 41398 KachelY + 1 8775 0.82739089 1.37100603 47.406006 78.552859
    Unten rechts KachelX + 1 41399 KachelY + 1 8775 0.82748676 1.37100603 47.411499 78.552859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37102506-1.37100603) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dl = 121.240130000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37102506-1.37100603) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dr = 121.240130000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82739089-0.82748676) × cos(1.37102506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198445151830373 × 6371000     		do = 121.207871753782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82739089-0.82748676) × cos(1.37100603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198463803325695 × 6371000     		du = 121.219263859017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37102506)-sin(1.37100603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198445151830373-0.198463803325695)×R²
    abs(0.82748676-0.82739089)×1.86514953212369e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86514953212369e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86514953212369e-05×40589641000000     		ar = 14695.9487190641m²