Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41393 / 8113
↖ ↑ ↗
← N 79.252562°
E 47.378540°		 ← 113.90 m → N 79.252562°
E 47.384033°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
N 79.251537°
E 47.378540°		 ← 113.91 m →
12 975 m²		 N 79.251537°
E 47.384033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631614685058594 y=0.123802185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631614685058594 × 216)
    floor (0.631614685058594 × 65536)
    floor (41393.5)     		tx = 41393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123802185058594 × 216)
    floor (0.123802185058594 × 65536)
    floor (8113.5)     		ty = 8113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41393 / 8113 ti = "16/41393/8113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41393/8113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41393 ÷ 216
    41393 ÷ 65536     		x = 0.631607055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8113 ÷ 216
    8113 ÷ 65536     		y = 0.123794555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631607055664062 × 2 - 1) × π
    0.263214111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82691152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123794555664062 × 2 - 1) × π
    0.752410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36376852026497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82691152} λ = 0.82691152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36376852026497))-π/2
    2×atan(10.630938967163)-π/2
    2×1.47700723152353-π/2
    2.95401446304706-1.57079632675     		φ = 1.38321814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82691152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.378540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38321814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.252562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41393 KachelY 8113 0.82691152 1.38321814 47.378540 79.252562
    Oben rechts KachelX + 1 41394 KachelY 8113 0.82700739 1.38321814 47.384033 79.252562
    Unten links KachelX 41393 KachelY + 1 8114 0.82691152 1.38320026 47.378540 79.251537
    Unten rechts KachelX + 1 41394 KachelY + 1 8114 0.82700739 1.38320026 47.384033 79.251537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38321814-1.38320026) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38321814-1.38320026) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82691152-0.82700739) × cos(1.38321814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186480112631856 × 6371000     		do = 113.899772143758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82691152-0.82700739) × cos(1.38320026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186497678964244 × 6371000     		du = 113.910501444744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38321814)-sin(1.38320026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186480112631856-0.186497678964244)×R²
    abs(0.82700739-0.82691152)×1.75663323873643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75663323873643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75663323873643e-05×40589641000000     		ar = 12975.3305228419m²