Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41388 / 8775
↖ ↑ ↗
← N 78.552859°
E 47.351074°		 ← 121.22 m → N 78.552859°
E 47.356567°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
N 78.551769°
E 47.351074°		 ← 121.23 m →
14 690 m²		 N 78.551769°
E 47.356567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631538391113281 y=0.133903503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631538391113281 × 216)
    floor (0.631538391113281 × 65536)
    floor (41388.5)     		tx = 41388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133903503417969 × 216)
    floor (0.133903503417969 × 65536)
    floor (8775.5)     		ty = 8775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41388 / 8775 ti = "16/41388/8775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41388/8775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41388 ÷ 216
    41388 ÷ 65536     		x = 0.63153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8775 ÷ 216
    8775 ÷ 65536     		y = 0.133895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63153076171875 × 2 - 1) × π
    0.2630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82643215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133895874023438 × 2 - 1) × π
    0.732208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30030006516801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82643215} λ = 0.82643215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30030006516801))-π/2
    2×atan(9.97717580862698)-π/2
    2×1.47090118037909-π/2
    2.94180236075817-1.57079632675     		φ = 1.37100603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82643215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.351074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37100603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.552859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41388 KachelY 8775 0.82643215 1.37100603 47.351074 78.552859
    Oben rechts KachelX + 1 41389 KachelY 8775 0.82652802 1.37100603 47.356567 78.552859
    Unten links KachelX 41388 KachelY + 1 8776 0.82643215 1.37098701 47.351074 78.551769
    Unten rechts KachelX + 1 41389 KachelY + 1 8776 0.82652802 1.37098701 47.356567 78.551769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37100603-1.37098701) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37100603-1.37098701) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82643215-0.82652802) × cos(1.37100603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.198463803325695 × 6371000     		do = 121.219263859017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82643215-0.82652802) × cos(1.37098701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1984824449481 × 6371000     		du = 121.230649933995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37100603)-sin(1.37098701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198463803325695-0.1984824449481)×R²
    abs(0.82652802-0.82643215)×1.86416224050023e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86416224050023e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86416224050023e-05×40589641000000     		ar = 14689.6062918292m²