Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41386 / 8198
↖ ↑ ↗
← N 79.165141°
E 47.340088°		 ← 114.83 m → N 79.165141°
E 47.345581°		 →
↑
114.81 m
↓
↑
114.81 m
↓
N 79.164108°
E 47.340088°		 ← 114.84 m →
13 183 m²		 N 79.164108°
E 47.345581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631507873535156 y=0.125099182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631507873535156 × 216)
    floor (0.631507873535156 × 65536)
    floor (41386.5)     		tx = 41386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125099182128906 × 216)
    floor (0.125099182128906 × 65536)
    floor (8198.5)     		ty = 8198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41386 / 8198 ti = "16/41386/8198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41386/8198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41386 ÷ 216
    41386 ÷ 65536     		x = 0.631500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8198 ÷ 216
    8198 ÷ 65536     		y = 0.125091552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631500244140625 × 2 - 1) × π
    0.26300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82624040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125091552734375 × 2 - 1) × π
    0.74981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35561924732956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82624040} λ = 0.82624040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35561924732956))-π/2
    2×atan(10.5446565907824)-π/2
    2×1.47624434324498-π/2
    2.95248868648996-1.57079632675     		φ = 1.38169236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82624040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.340088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38169236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.165141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41386 KachelY 8198 0.82624040 1.38169236 47.340088 79.165141
    Oben rechts KachelX + 1 41387 KachelY 8198 0.82633628 1.38169236 47.345581 79.165141
    Unten links KachelX 41386 KachelY + 1 8199 0.82624040 1.38167434 47.340088 79.164108
    Unten rechts KachelX + 1 41387 KachelY + 1 8199 0.82633628 1.38167434 47.345581 79.164108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38169236-1.38167434) × R
    1.8019999999952e-05 × 6371000     		dl = 114.805419999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38169236-1.38167434) × R
    1.8019999999952e-05 × 6371000     		dr = 114.805419999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82624040-0.82633628) × cos(1.38169236) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187978910876941 × 6371000     		do = 114.827195918025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82624040-0.82633628) × cos(1.38167434) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187996609605046 × 6371000     		du = 114.838007212282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38169236)-sin(1.38167434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187978910876941-0.187996609605046)×R²
    abs(0.82633628-0.82624040)×1.76987281049756e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76987281049756e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76987281049756e-05×40589641000000     		ar = 13183.4050527021m²