Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41381 / 8150
↖ ↑ ↗
← N 79.214594°
E 47.312622°		 ← 114.31 m → N 79.214594°
E 47.318115°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
N 79.213565°
E 47.312622°		 ← 114.32 m →
13 073 m²		 N 79.213565°
E 47.318115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631431579589844 y=0.124366760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631431579589844 × 216)
    floor (0.631431579589844 × 65536)
    floor (41381.5)     		tx = 41381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124366760253906 × 216)
    floor (0.124366760253906 × 65536)
    floor (8150.5)     		ty = 8150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41381 / 8150 ti = "16/41381/8150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41381/8150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41381 ÷ 216
    41381 ÷ 65536     		x = 0.631423950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8150 ÷ 216
    8150 ÷ 65536     		y = 0.124359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631423950195312 × 2 - 1) × π
    0.262847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82576103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124359130859375 × 2 - 1) × π
    0.75128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36022118969308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82576103} λ = 0.82576103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36022118969308))-π/2
    2×atan(10.5932943208346)-π/2
    2×1.47667590121364-π/2
    2.95335180242729-1.57079632675     		φ = 1.38255548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82576103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.312622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38255548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.214594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41381 KachelY 8150 0.82576103 1.38255548 47.312622 79.214594
    Oben rechts KachelX + 1 41382 KachelY 8150 0.82585691 1.38255548 47.318115 79.214594
    Unten links KachelX 41381 KachelY + 1 8151 0.82576103 1.38253753 47.312622 79.213565
    Unten rechts KachelX + 1 41382 KachelY + 1 8151 0.82585691 1.38253753 47.318115 79.213565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38255548-1.38253753) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38255548-1.38253753) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82576103-0.82585691) × cos(1.38255548) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187131107746678 × 6371000     		do = 114.309314121155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82576103-0.82585691) × cos(1.38253753) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187148740628832 × 6371000     		du = 114.320085193316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38255548)-sin(1.38253753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187131107746678-0.187148740628832)×R²
    abs(0.82585691-0.82576103)×1.76328821543947e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76328821543947e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76328821543947e-05×40589641000000     		ar = 13072.9661797649m²