Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41378 / 8166
↖ ↑ ↗
← N 79.198134°
E 47.296142°		 ← 114.48 m → N 79.198134°
E 47.301636°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
N 79.197104°
E 47.296142°		 ← 114.49 m →
13 107 m²		 N 79.197104°
E 47.301636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631385803222656 y=0.124610900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631385803222656 × 216)
    floor (0.631385803222656 × 65536)
    floor (41378.5)     		tx = 41378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124610900878906 × 216)
    floor (0.124610900878906 × 65536)
    floor (8166.5)     		ty = 8166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41378 / 8166 ti = "16/41378/8166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41378/8166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41378 ÷ 216
    41378 ÷ 65536     		x = 0.631378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8166 ÷ 216
    8166 ÷ 65536     		y = 0.124603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631378173828125 × 2 - 1) × π
    0.26275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82547341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124603271484375 × 2 - 1) × π
    0.75079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35868720890524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82547341} λ = 0.82547341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35868720890524))-π/2
    2×atan(10.5770568680209)-π/2
    2×1.47653226525617-π/2
    2.95306453051235-1.57079632675     		φ = 1.38226820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82547341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.296142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38226820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.198134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41378 KachelY 8166 0.82547341 1.38226820 47.296142 79.198134
    Oben rechts KachelX + 1 41379 KachelY 8166 0.82556929 1.38226820 47.301636 79.198134
    Unten links KachelX 41378 KachelY + 1 8167 0.82547341 1.38225023 47.296142 79.197104
    Unten rechts KachelX + 1 41379 KachelY + 1 8167 0.82556929 1.38225023 47.301636 79.197104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38226820-1.38225023) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dl = 114.486870000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38226820-1.38225023) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dr = 114.486870000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82547341-0.82556929) × cos(1.38226820) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187413305204485 × 6371000     		do = 114.481694855909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82547341-0.82556929) × cos(1.38225023) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.187430956766448 × 6371000     		du = 114.492477338658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38226820)-sin(1.38225023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187413305204485-0.187430956766448)×R²
    abs(0.82556929-0.82547341)×1.76515619625395e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.76515619625395e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.76515619625395e-05×40589641000000     		ar = 13107.2681430179m²