Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41371 / 8088
↖ ↑ ↗
← N 79.278140°
E 47.257690°		 ← 113.64 m → N 79.278140°
E 47.263184°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
N 79.277119°
E 47.257690°		 ← 113.65 m →
12 910 m²		 N 79.277119°
E 47.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631278991699219 y=0.123420715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631278991699219 × 216)
    floor (0.631278991699219 × 65536)
    floor (41371.5)     		tx = 41371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123420715332031 × 216)
    floor (0.123420715332031 × 65536)
    floor (8088.5)     		ty = 8088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41371 / 8088 ti = "16/41371/8088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41371/8088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41371 ÷ 216
    41371 ÷ 65536     		x = 0.631271362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8088 ÷ 216
    8088 ÷ 65536     		y = 0.1234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631271362304688 × 2 - 1) × π
    0.262542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82480229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1234130859375 × 2 - 1) × π
    0.753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36616536524597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82480229} λ = 0.82480229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36616536524597))-π/2
    2×atan(10.6564502409408)-π/2
    2×1.47723045056014-π/2
    2.95446090112028-1.57079632675     		φ = 1.38366457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82480229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.257690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38366457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.278140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41371 KachelY 8088 0.82480229 1.38366457 47.257690 79.278140
    Oben rechts KachelX + 1 41372 KachelY 8088 0.82489817 1.38366457 47.263184 79.278140
    Unten links KachelX 41371 KachelY + 1 8089 0.82480229 1.38364674 47.257690 79.277119
    Unten rechts KachelX + 1 41372 KachelY + 1 8089 0.82489817 1.38364674 47.263184 79.277119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38366457-1.38364674) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38366457-1.38364674) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82480229-0.82489817) × cos(1.38366457) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186041495010273 × 6371000     		do = 113.643722568363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82480229-0.82489817) × cos(1.38364674) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186059013702567 × 6371000     		du = 113.654423887479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38366457)-sin(1.38364674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186041495010273-0.186059013702567)×R²
    abs(0.82489817-0.82480229)×1.75186922941606e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75186922941606e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75186922941606e-05×40589641000000     		ar = 12909.9585184099m²