Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41367 / 8147
↖ ↑ ↗
← N 79.217677°
E 47.235718°		 ← 114.27 m → N 79.217677°
E 47.241211°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
N 79.216649°
E 47.235718°		 ← 114.28 m →
13 061 m²		 N 79.216649°
E 47.241211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631217956542969 y=0.124320983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631217956542969 × 216)
    floor (0.631217956542969 × 65536)
    floor (41367.5)     		tx = 41367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124320983886719 × 216)
    floor (0.124320983886719 × 65536)
    floor (8147.5)     		ty = 8147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41367 / 8147 ti = "16/41367/8147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41367/8147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41367 ÷ 216
    41367 ÷ 65536     		x = 0.631210327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8147 ÷ 216
    8147 ÷ 65536     		y = 0.124313354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631210327148438 × 2 - 1) × π
    0.262420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82441880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124313354492188 × 2 - 1) × π
    0.751373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36050881109081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82441880} λ = 0.82441880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36050881109081))-π/2
    2×atan(10.5963416171665)-π/2
    2×1.4767028088682-π/2
    2.9534056177364-1.57079632675     		φ = 1.38260929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82441880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.235718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38260929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.217677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41367 KachelY 8147 0.82441880 1.38260929 47.235718 79.217677
    Oben rechts KachelX + 1 41368 KachelY 8147 0.82451467 1.38260929 47.241211 79.217677
    Unten links KachelX 41367 KachelY + 1 8148 0.82441880 1.38259135 47.235718 79.216649
    Unten rechts KachelX + 1 41368 KachelY + 1 8148 0.82451467 1.38259135 47.241211 79.216649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38260929-1.38259135) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38260929-1.38259135) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82441880-0.82451467) × cos(1.38260929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187078248032274 × 6371000     		do = 114.265105931137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82441880-0.82451467) × cos(1.38259135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.187095871271742 × 6371000     		du = 114.275869990272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38260929)-sin(1.38259135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187078248032274-0.187095871271742)×R²
    abs(0.82451467-0.82441880)×1.76232394688003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.76232394688003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.76232394688003e-05×40589641000000     		ar = 13060.6299818932m²