Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4136 / 2250
↖ ↑ ↗
← N 62.714462°
E  1.757813°		 ← 2 240.09 m → N 62.714462°
E  1.801758°		 →
↑
2 240.87 m
↓
↑
2 240.87 m
↓
N 62.694309°
E  1.757813°		 ← 2 241.62 m →
5 021 470 m²		 N 62.694309°
E  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50494384765625 y=0.27471923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50494384765625 × 213)
    floor (0.50494384765625 × 8192)
    floor (4136.5)     		tx = 4136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27471923828125 × 213)
    floor (0.27471923828125 × 8192)
    floor (2250.5)     		ty = 2250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4136 / 2250 ti = "13/4136/2250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4136/2250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4136 ÷ 213
    4136 ÷ 8192     		x = 0.5048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2250 ÷ 213
    2250 ÷ 8192     		y = 0.274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5048828125 × 2 - 1) × π
    0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274658203125 × 2 - 1) × π
    0.45068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41586426717798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03067962} λ = 0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41586426717798))-π/2
    2×atan(4.12004574797815)-π/2
    2×1.33268508953234-π/2
    2.66537017906468-1.57079632675     		φ = 1.09457385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09457385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.714462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4136 KachelY 2250 0.03067962 1.09457385 1.757813 62.714462
    Oben rechts KachelX + 1 4137 KachelY 2250 0.03144661 1.09457385 1.801758 62.714462
    Unten links KachelX 4136 KachelY + 1 2251 0.03067962 1.09422212 1.757813 62.694309
    Unten rechts KachelX + 1 4137 KachelY + 1 2251 0.03144661 1.09422212 1.801758 62.694309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09457385-1.09422212) × R
    0.000351729999999995 × 6371000     		dl = 2240.87182999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09457385-1.09422212) × R
    0.000351729999999995 × 6371000     		dr = 2240.87182999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03067962-0.03144661) × cos(1.09457385) × R
    0.000766989999999999 × 0.458425244889664 × 6371000     		do = 2240.09188311994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03067962-0.03144661) × cos(1.09422212) × R
    0.000766989999999999 × 0.458737810574518 × 6371000     		du = 2241.61923324167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09457385)-sin(1.09422212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458425244889664-0.458737810574518)×R²
    abs(0.03144661-0.03067962)×0.000312565684854715×R²
    0.000766989999999999×0.000312565684854715×6371000²
    0.000766989999999999×0.000312565684854715×40589641000000     		ar = 5021470.14719411m²