Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41357 / 7980
↖ ↑ ↗
← N 79.387952°
E 47.180786°		 ← 112.49 m → N 79.387952°
E 47.186280°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
N 79.386940°
E 47.180786°		 ← 112.50 m →
12 657 m²		 N 79.386940°
E 47.186280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631065368652344 y=0.121772766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631065368652344 × 216)
    floor (0.631065368652344 × 65536)
    floor (41357.5)     		tx = 41357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121772766113281 × 216)
    floor (0.121772766113281 × 65536)
    floor (7980.5)     		ty = 7980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41357 / 7980 ti = "16/41357/7980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41357/7980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41357 ÷ 216
    41357 ÷ 65536     		x = 0.631057739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7980 ÷ 216
    7980 ÷ 65536     		y = 0.12176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631057739257812 × 2 - 1) × π
    0.262115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82346006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12176513671875 × 2 - 1) × π
    0.7564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3765197355639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82346006} λ = 0.82346006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3765197355639))-π/2
    2×atan(10.7673643047044)-π/2
    2×1.47818873832905-π/2
    2.95637747665809-1.57079632675     		φ = 1.38558115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82346006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.180786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38558115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.387952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41357 KachelY 7980 0.82346006 1.38558115 47.180786 79.387952
    Oben rechts KachelX + 1 41358 KachelY 7980 0.82355594 1.38558115 47.186280 79.387952
    Unten links KachelX 41357 KachelY + 1 7981 0.82346006 1.38556349 47.180786 79.386940
    Unten rechts KachelX + 1 41358 KachelY + 1 7981 0.82355594 1.38556349 47.186280 79.386940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38558115-1.38556349) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38558115-1.38556349) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82346006-0.82355594) × cos(1.38558115) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184158034339948 × 6371000     		do = 112.493207830375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82346006-0.82355594) × cos(1.38556349) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184175392266014 × 6371000     		du = 112.503810945201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38558115)-sin(1.38556349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184158034339948-0.184175392266014)×R²
    abs(0.82355594-0.82346006)×1.73579260651924e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.73579260651924e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.73579260651924e-05×40589641000000     		ar = 12657.4165391228m²