Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41353 / 10062
↖ ↑ ↗
← N 77.061576°
E 47.158814°		 ← 136.76 m → N 77.061576°
E 47.164307°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
N 77.060346°
E 47.158814°		 ← 136.77 m →
18 707 m²		 N 77.060346°
E 47.164307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631004333496094 y=0.153541564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631004333496094 × 216)
    floor (0.631004333496094 × 65536)
    floor (41353.5)     		tx = 41353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153541564941406 × 216)
    floor (0.153541564941406 × 65536)
    floor (10062.5)     		ty = 10062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41353 / 10062 ti = "16/41353/10062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41353/10062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41353 ÷ 216
    41353 ÷ 65536     		x = 0.630996704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10062 ÷ 216
    10062 ÷ 65536     		y = 0.153533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630996704101562 × 2 - 1) × π
    0.261993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82307657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153533935546875 × 2 - 1) × π
    0.69293212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17691048554599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82307657} λ = 0.82307657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17691048554599))-π/2
    2×atan(8.81901764366133)-π/2
    2×1.45788727731403-π/2
    2.91577455462805-1.57079632675     		φ = 1.34497823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82307657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.158814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34497823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.061576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41353 KachelY 10062 0.82307657 1.34497823 47.158814 77.061576
    Oben rechts KachelX + 1 41354 KachelY 10062 0.82317244 1.34497823 47.164307 77.061576
    Unten links KachelX 41353 KachelY + 1 10063 0.82307657 1.34495676 47.158814 77.060346
    Unten rechts KachelX + 1 41354 KachelY + 1 10063 0.82317244 1.34495676 47.164307 77.060346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34497823-1.34495676) × R
    2.14699999998569e-05 × 6371000     		dl = 136.785369999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34497823-1.34495676) × R
    2.14699999998569e-05 × 6371000     		dr = 136.785369999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82307657-0.82317244) × cos(1.34497823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223903763316894 × 6371000     		do = 136.75768029093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82307657-0.82317244) × cos(1.34495676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223924688169002 × 6371000     		du = 136.770460934687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34497823)-sin(1.34495676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223903763316894-0.223924688169002)×R²
    abs(0.82317244-0.82307657)×2.09248521081673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09248521081673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09248521081673e-05×40589641000000     		ar = 18707.3240022589m²