Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41349 / 9909
↖ ↑ ↗
← N 77.248418°
E 47.136841°		 ← 134.83 m → N 77.248418°
E 47.142334°		 →
↑
134.81 m
↓
↑
134.81 m
↓
N 77.247205°
E 47.136841°		 ← 134.84 m →
18 177 m²		 N 77.247205°
E 47.142334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630943298339844 y=0.151206970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630943298339844 × 216)
    floor (0.630943298339844 × 65536)
    floor (41349.5)     		tx = 41349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151206970214844 × 216)
    floor (0.151206970214844 × 65536)
    floor (9909.5)     		ty = 9909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41349 / 9909 ti = "16/41349/9909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41349/9909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41349 ÷ 216
    41349 ÷ 65536     		x = 0.630935668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9909 ÷ 216
    9909 ÷ 65536     		y = 0.151199340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630935668945312 × 2 - 1) × π
    0.261871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82269307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151199340820312 × 2 - 1) × π
    0.697601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19157917682973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82269307} λ = 0.82269307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19157917682973))-π/2
    2×atan(8.94933454339999)-π/2
    2×1.45951777917989-π/2
    2.91903555835979-1.57079632675     		φ = 1.34823923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82269307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.136841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34823923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.248418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41349 KachelY 9909 0.82269307 1.34823923 47.136841 77.248418
    Oben rechts KachelX + 1 41350 KachelY 9909 0.82278895 1.34823923 47.142334 77.248418
    Unten links KachelX 41349 KachelY + 1 9910 0.82269307 1.34821807 47.136841 77.247205
    Unten rechts KachelX + 1 41350 KachelY + 1 9910 0.82278895 1.34821807 47.142334 77.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34823923-1.34821807) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dl = 134.810359999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34823923-1.34821807) × R
    2.11599999999645e-05 × 6371000     		dr = 134.810359999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82269307-0.82278895) × cos(1.34823923) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220724371127735 × 6371000     		do = 134.829808775358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82269307-0.82278895) × cos(1.34821807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220745009192843 × 6371000     		du = 134.842415567973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34823923)-sin(1.34821807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220724371127735-0.220745009192843)×R²
    abs(0.82278895-0.82269307)×2.06380651073534e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.06380651073534e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.06380651073534e-05×40589641000000     		ar = 18177.3048234134m²