Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4134 / 2206
↖ ↑ ↗
← N 63.587675°
E  1.669922°		 ← 2 173.68 m → N 63.587675°
E  1.713867°		 →
↑
2 174.42 m
↓
↑
2 174.42 m
↓
N 63.568120°
E  1.669922°		 ← 2 175.17 m →
4 728 115 m²		 N 63.568120°
E  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50469970703125 y=0.26934814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50469970703125 × 213)
    floor (0.50469970703125 × 8192)
    floor (4134.5)     		tx = 4134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26934814453125 × 213)
    floor (0.26934814453125 × 8192)
    floor (2206.5)     		ty = 2206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4134 / 2206 ti = "13/4134/2206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4134/2206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4134 ÷ 213
    4134 ÷ 8192     		x = 0.504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2206 ÷ 213
    2206 ÷ 8192     		y = 0.269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504638671875 × 2 - 1) × π
    0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269287109375 × 2 - 1) × π
    0.46142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02914563} λ = 0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4496118445105))-π/2
    2×atan(4.26146008497623)-π/2
    2×1.34030531217905-π/2
    2.68061062435809-1.57079632675     		φ = 1.10981430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10981430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.587675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4134 KachelY 2206 0.02914563 1.10981430 1.669922 63.587675
    Oben rechts KachelX + 1 4135 KachelY 2206 0.02991263 1.10981430 1.713867 63.587675
    Unten links KachelX 4134 KachelY + 1 2207 0.02914563 1.10947300 1.669922 63.568120
    Unten rechts KachelX + 1 4135 KachelY + 1 2207 0.02991263 1.10947300 1.713867 63.568120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10981430-1.10947300) × R
    0.0003413000000001 × 6371000     		dl = 2174.42230000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10981430-1.10947300) × R
    0.0003413000000001 × 6371000     		dr = 2174.42230000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02914563-0.02991263) × cos(1.10981430) × R
    0.000767 × 0.444827840319719 × 6371000     		do = 2173.67659690921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02914563-0.02991263) × cos(1.10947300) × R
    0.000767 × 0.445133488179513 × 6371000     		du = 2175.17016259802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10981430)-sin(1.10947300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444827840319719-0.445133488179513)×R²
    abs(0.02991263-0.02914563)×0.000305647859794145×R²
    0.000767×0.000305647859794145×6371000²
    0.000767×0.000305647859794145×40589641000000     		ar = 4728114.73247571m²