Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41339 / 8061
↖ ↑ ↗
← N 79.305698°
E 47.081909°		 ← 113.36 m → N 79.305698°
E 47.087403°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 79.304679°
E 47.081909°		 ← 113.37 m →
12 848 m²		 N 79.304679°
E 47.087403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630790710449219 y=0.123008728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630790710449219 × 216)
    floor (0.630790710449219 × 65536)
    floor (41339.5)     		tx = 41339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123008728027344 × 216)
    floor (0.123008728027344 × 65536)
    floor (8061.5)     		ty = 8061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41339 / 8061 ti = "16/41339/8061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41339/8061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41339 ÷ 216
    41339 ÷ 65536     		x = 0.630783081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8061 ÷ 216
    8061 ÷ 65536     		y = 0.123001098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630783081054688 × 2 - 1) × π
    0.261566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82173433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123001098632812 × 2 - 1) × π
    0.753997802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36875395782545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82173433} λ = 0.82173433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36875395782545))-π/2
    2×atan(10.6840711832177)-π/2
    2×1.47747093740524-π/2
    2.95494187481048-1.57079632675     		φ = 1.38414555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82173433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.081909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38414555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.305698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41339 KachelY 8061 0.82173433 1.38414555 47.081909 79.305698
    Oben rechts KachelX + 1 41340 KachelY 8061 0.82183021 1.38414555 47.087403 79.305698
    Unten links KachelX 41339 KachelY + 1 8062 0.82173433 1.38412776 47.081909 79.304679
    Unten rechts KachelX + 1 41340 KachelY + 1 8062 0.82183021 1.38412776 47.087403 79.304679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38414555-1.38412776) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38414555-1.38412776) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82173433-0.82183021) × cos(1.38414555) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185568890511509 × 6371000     		do = 113.35503141097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82173433-0.82183021) × cos(1.38412776) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185586371492202 × 6371000     		du = 113.365709693898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38414555)-sin(1.38412776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185568890511509-0.185586371492202)×R²
    abs(0.82183021-0.82173433)×1.74809806930687e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74809806930687e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74809806930687e-05×40589641000000     		ar = 12848.2746008941m²