Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41334 / 8130
↖ ↑ ↗
← N 79.235133°
E 47.054443°		 ← 114.09 m → N 79.235133°
E 47.059937°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
N 79.234107°
E 47.054443°		 ← 114.10 m →
13 019 m²		 N 79.234107°
E 47.059937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630714416503906 y=0.124061584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630714416503906 × 216)
    floor (0.630714416503906 × 65536)
    floor (41334.5)     		tx = 41334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124061584472656 × 216)
    floor (0.124061584472656 × 65536)
    floor (8130.5)     		ty = 8130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41334 / 8130 ti = "16/41334/8130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41334/8130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41334 ÷ 216
    41334 ÷ 65536     		x = 0.630706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8130 ÷ 216
    8130 ÷ 65536     		y = 0.124053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630706787109375 × 2 - 1) × π
    0.26141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82125496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124053955078125 × 2 - 1) × π
    0.75189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36213866567789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82125496} λ = 0.82125496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36213866567789))-π/2
    2×atan(10.6136261950055)-π/2
    2×1.47685514205412-π/2
    2.95371028410824-1.57079632675     		φ = 1.38291396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82125496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.054443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38291396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.235133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41334 KachelY 8130 0.82125496 1.38291396 47.054443 79.235133
    Oben rechts KachelX + 1 41335 KachelY 8130 0.82135084 1.38291396 47.059937 79.235133
    Unten links KachelX 41334 KachelY + 1 8131 0.82125496 1.38289605 47.054443 79.234107
    Unten rechts KachelX + 1 41335 KachelY + 1 8131 0.82135084 1.38289605 47.059937 79.234107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38291396-1.38289605) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38291396-1.38289605) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82125496-0.82135084) × cos(1.38291396) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18677894829843 × 6371000     		do = 114.094197000997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82125496-0.82135084) × cos(1.38289605) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186796543087699 × 6371000     		du = 114.104944804062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38291396)-sin(1.38289605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18677894829843-0.186796543087699)×R²
    abs(0.82135084-0.82125496)×1.75947892689376e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75947892689376e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75947892689376e-05×40589641000000     		ar = 13019.2870392244m²