Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41332 / 9940
↖ ↑ ↗
← N 77.210777°
E 47.043457°		 ← 135.21 m → N 77.210777°
E 47.048950°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
N 77.209560°
E 47.043457°		 ← 135.22 m →
18 288 m²		 N 77.209560°
E 47.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630683898925781 y=0.151679992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630683898925781 × 216)
    floor (0.630683898925781 × 65536)
    floor (41332.5)     		tx = 41332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151679992675781 × 216)
    floor (0.151679992675781 × 65536)
    floor (9940.5)     		ty = 9940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41332 / 9940 ti = "16/41332/9940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41332/9940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41332 ÷ 216
    41332 ÷ 65536     		x = 0.63067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9940 ÷ 216
    9940 ÷ 65536     		y = 0.15167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63067626953125 × 2 - 1) × π
    0.2613525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82106322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15167236328125 × 2 - 1) × π
    0.6966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18860708905328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82106322} λ = 0.82106322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18860708905328))-π/2
    2×atan(8.92277582257112)-π/2
    2×1.45918929723381-π/2
    2.91837859446763-1.57079632675     		φ = 1.34758227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82106322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34758227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.210777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41332 KachelY 9940 0.82106322 1.34758227 47.043457 77.210777
    Oben rechts KachelX + 1 41333 KachelY 9940 0.82115909 1.34758227 47.048950 77.210777
    Unten links KachelX 41332 KachelY + 1 9941 0.82106322 1.34756104 47.043457 77.209560
    Unten rechts KachelX + 1 41333 KachelY + 1 9941 0.82115909 1.34756104 47.048950 77.209560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34758227-1.34756104) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34758227-1.34756104) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82106322-0.82115909) × cos(1.34758227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22136508033616 × 6371000     		do = 135.207083774391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82106322-0.82115909) × cos(1.34756104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221385783591363 × 6371000     		du = 135.219729069468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34758227)-sin(1.34756104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22136508033616-0.221385783591363)×R²
    abs(0.82115909-0.82106322)×2.07032552026754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07032552026754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07032552026754e-05×40589641000000     		ar = 18288.4691199576m²